[3ème] [Géométrie] Théorème du triangle inscrit

Voici un théorème que vous avez utilisé très souvent.

Citation : théorème

Un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle

Démontrez le.

Vous pourrez vous aider de la figure suivante.


Bon ça c'est pour les cracks, voici des questions intermédiaires pour rendre l'exercice plus faisable par un troisième.

Comme <math>\([AC]\)</math> est le diamètre du cercle, <math>\(\widehat{AOC} = \pi\)</math>.
Dès lors, <math>\(\widehat{ABC} = \frac{\widehat{AOC}}{2} = \frac{\pi}{2}\)</math>.
Ce qui termine la démonstration.

Citation : simbilou

1- Quel est la nature du triangle AOB ? En déduire une relation entre <math>\(\alpha\)</math> et <math>\({\beta}_{1}\)</math>

2- Quel est la nature du triangle BOC ? En déduire une relation entre <math>\(\gamma\)</math> et <math>\({\beta}_{2}\)</math>

3- En étudiant la somme des angles du triangle ABC, montrez que <math>\(\beta=90\)</math>°

OK (faut encore savoir que la somme des angles d'un triangle est un angle plat). Sinon, tu dois avoir d'autres preuves, genre prendre le symétrique de B par rapport à O, on obtient un parallélogramme inscrit dans un cercle et on doit facilement conclure avec le théorème des milieux.


Tiens, ton dessin est sympa, tu l'as fait avec quoi ? un logiciel de maths ou juste Paint ou un truc du genre ?

Citation : Typen

Comme <math>\([AC]\)</math> est le diamètre du cercle, <math>\(\widehat{AOC} = \pi\)</math>.
Dès lors, <math>\(\widehat{ABC} = \frac{\widehat{AOC}}{2} = \frac{\pi}{2}\)</math>.
Ce qui termine la démonstration.

Le théorème de l'angle incrit. Je sais pas si les élèves apprennent ça en Collège.

Mettez vos réponse en secret s'il vous plait, ça évite de voir la réponse par mégarde si l'on n'en a pas envie

@Typhen: utiliser un théorème puissant pour démontrer un corollaire c'est pas vraiment le but du jeu...

@Candide: dessin fait avec paint en 5 min

Citation : simbilou

@Typhen: utiliser un théorème puissant pour démontrer un corollaire c'est pas vraiment le but du jeu...

@Candide: dessin fait avec paint en 5 min

Avec Géogébra, on fait mieux en moins de deux !

Roooh En voilà une autre alors

Citation : Typen

<math>\(\widehat{CBA} = \widehat{OBA} + \widehat{CBO} = \widehat{OAB} + \widehat{BCO} = \frac{\pi}{2}\)</math>.

Tu peux détailler ?

Citation : candide

Citation : Typen

<math>\(\widehat{CBA} = \widehat{OBA} + \widehat{CBO} = \widehat{OAB} + \widehat{BCO} = \frac{\pi}{2}\)</math>.

Tu peux détailler ?

Ils sont égaux et leurs somme vaut <math>\(\pi\)</math>, que valent-ils ?

Citation : Typen

Ils sont égaux et leurs somme vaut <math>\(\pi\)</math>, que valent-ils ?

C'est bien ce que je pensais que tu pensais mais c'est néanmoins un raccourci assez artificiel et que je ne suis pas sûr que le public de collège voire de lycéen va comprendre spontanément. En fait, ta démo est la même que celle que simbilou propose en secret.

Salut,

Je vous propose une démonstration plus géométrique et niveau collège (niveau cinquième).

Deux indices :

• symétrie de centre 0 (le centre du cercle)
• quadrilatère particulier avec les diagonales

voilà

Joli demo zungiri, j'aime beaucoup

Citation : simbilou

Joli demo zungiri, j'aime beaucoup

Tu n'avais dû lire mon message avec attention mais c'est la démonstration que j'avais proposée :

Citation : candide

Sinon, tu dois avoir d'autres preuves, genre prendre le symétrique de B par rapport à O, on obtient un parallélogramme inscrit dans un cercle et on doit facilement conclure avec le théorème des milieux.

Au passage, comment va-t-on prouver élémentairement et sans arnaque qu'un parallélogramme (quadrilatère dont les diagonales se coupent en leurs milieux) inscrit dans un cercle est un rectangle ? A priori, on a besoin du théorème des milieux.

Effectivement Candide, j'ai du lire ton post en diagonale (sans mauvais jeu de mot).