[exercice TS] somme de deux angles

simbilou

18 décembre 2010 à 18:53:08

Un autre exercice très simple pour les TS

[TS] Somme de deux angles *

Calculer <math>\(\alpha+\beta\)</math>

Have fun

Zeste de Savoir — bépo — code minimal — Ge0 <3

Anonyme

18 décembre 2010 à 20:33:29

Quelles sont les longueurs des triangles ? Si il faut le trouver, quelle est l'unité ?

Mortys

18 décembre 2010 à 20:59:13

Même si on peut deviner qu'il s'agit de trois carrés, il manque des données à l'énoncer

Pour répondre à la question, il suffit d'écrire la valeur de la tangente de chaque angle et on trouve facilement le résultat

Lithrein

18 décembre 2010 à 21:10:45

L'exercice étant plutôt vague, en supposant que l'on ait affaire à trois carrés <math>\(\alpha + \beta = 2700'\)</math> (arc minutes).

ordiclic

18 décembre 2010 à 21:19:54

Un peu de tangentes sûrement, voilà une figure plus claire et facile à exploiter :

Image utilisateur

J'ai pensé à utiliser des cotangentes, mais on ne les voit pas en Tle, même si le résultat n'est pas difficile à obtenir.

sachav

18 décembre 2010 à 22:54:52

Je suis pas sûr de mon coup, puisque j'ai pas réussi à trouver la valeur exacte.

Eh mince j'ai mal lu, je pensait qu'il fallait trouver beta - alpha et non beta + alpha...

<math>\(z_a=3+i\)</math>
<math>\(z_b=2+i\)</math>
<math>\((\vec{v},\vec{OB}) = \text{arg}(z_{\vec{OB}})\)</math>
<math>\((\vec{v},\vec{OB}) = \text{arg}(2+i)\)</math>
<math>\((\vec{v},\vec{OA}) = \text{arg}(z_{\vec{OA}})\)</math>
<math>\((\vec{v},\vec{OA}) = \text{arg}(3+i)\)</math>
<math>\(\beta - \alpha = (\vec{v},\vec{OB}) - (\vec{v},\vec{OA})\)</math>
<math>\(\beta - \alpha = \text{arg}(2+i) - \text{arg}(3+i)\)</math>
<math>\(\beta - \alpha = \text{arg}(\frac{2+i}{3+i})\)</math>
<math>\(\beta - \alpha = \text{arg}(\frac{(2+i)(3-i)}{10})\)</math>
<math>\(\beta - \alpha = \text{arg}(\frac{7+i}{10})\)</math>
<math>\(\beta - \alpha = \text{arg}(7+i)\)</math>
<math>\(cos(\beta - \alpha) = \frac{7}{\sqrt{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}}\)</math>

candide

18 décembre 2010 à 23:00:13

Citation : simbilou

[TS] Somme de deux angles *

Calculer <math>\(\alpha+\beta\)</math>

Facile et amusant (utiliser <math>\(\tan(\alpha+\beta)\)</math>)

GuGus963

19 décembre 2010 à 20:49:08

tan(a) = 1/3
tan(b) = 1/2
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b)) / (1-tan(a)tan(b)) = (5/6) / (5/6) = 1
donc a+b = pi/4

candide

19 décembre 2010 à 21:31:59

Citation : GuGus963

tan(a) = 1/3
tan(b) = 1/2
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b)) / (1-tan(a)tan(b)) = (5/6) / (5/6) = 1
donc a+b = pi/4

On peut aussi prouver le résultat géométriquement, sans calcul, niveau 3ème je dirais.

simbilou

19 décembre 2010 à 21:41:18

Oui, ce sont bien des carrés. Et il y a plus élégant que d'utiliser la tangente. Le fait que j'ai indiqué un niveau de TS devrait mettre la puce à l'oreille.

EDIT: Candide, je suis intéressé par ta solution niveau 3ème

Zeste de Savoir — bépo — code minimal — Ge0 <3

candide

20 décembre 2010 à 4:07:39

Citation : simbilou

EDIT: Candide, je suis intéressé par ta solution niveau 3ème

Out of the box

Il suffit de montrer que l'angle UOD vaut l'angle BOA (en effet dans ce cas, BOA + BOD =UOD + BOD = BOU = 45°). Or les triangles OCD et OBA sont semblables puisqu'ils sont tous les deux rectangles et dans les deux cas, un côté de l'angle droit est le triple de l'autre côté (pour le triangle OBA, c'est immédiat, pour le triangle OCD, c'est facile car OC=OU+UC=2UC+UC=3UC=3CD).

Caduchon

20 décembre 2010 à 11:09:02

Jolie preuve candide !

Je ne suis responsable que de ce que je dis, pas de ce que vous comprenez... - /!\ Négligences de sécurité sur OpenClassrooms /!\

simbilou

20 décembre 2010 à 13:17:48

Super jolie en effet

La solution que j'avais en tete est plus... complexe

Zeste de Savoir — bépo — code minimal — Ge0 <3

Anonyme

24 décembre 2010 à 15:53:44

Complexe ? Avec des arguments alors et dans le plan complexe :<math>\(\alpha = Arg(3 + i)\)</math> et <math>\(\beta = Arg(2 + i)\)</math>. On se souvient que <math>\(Arg(z * z') = Arg z + Arg z'\)</math>.
Et donc :

<math>\(\alpha + \beta = Arg[(2+i)(3+i)] [2\pi]\)</math>

<math>\(\alpha + \beta = Arg(6 + 2i + 3i -1) [2\pi]\)</math>

<math>\(\alpha + \beta = Arg(5 + 5i) [2\pi]\)</math>

<math>\(\alpha + \beta = Arg[5(1 + i)] [2\pi]\)</math>

<math>\(\alpha + \beta = Arg 5 + Arg(1 + i) [2\pi]\)</math>

<math>\(\alpha + \beta = 0 + Arg(1 + i) [2\pi]\)</math>

<math>\(\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} [2\pi]\)</math>

lucas92

25 décembre 2010 à 7:54:02

^Bonne preuve j'aime bien.

simbilou

25 décembre 2010 à 13:21:00

Exact Etienne

C'est ce genre de problème ou une fois que l'on pense complexe c'est beaucoup plus simple

Zeste de Savoir — bépo — code minimal — Ge0 <3

simbilou

17 janvier 2011 à 18:26:59

Je reviens rapidement sur cette exercice pour proposer une autre demonstration. L'idee de base est la meme que celle de Candide, c'est a dire faire apparaitre une signification geometrique a la somme des deux angles.
Tracon donc l'angle <math>\(\beta\)</math> de l'autre cote de l'horizontal.
Image utilisateur

Les deux triangles turquoise sur la figure sont visiblement identiques. Donc le triangle central est isocele et rectangle, d'ou <math>\(\alpha + \beta = \frac{\pi}_{4}\)</math>

Zeste de Savoir — bépo — code minimal — Ge0 <3