Bonsoir, une fois n'est pas coutume je viens demander de l'aide pour un exo de maths sur lequel je suis complètement bloqué je n'ai pas vraiment idée de par ou commencer .... Je sais juste qu'il faut s'aider d'une démonstration par récurrence pour le résoudre, je cherche depuis un moment et j'ai même cherché sur Internet, en vain, si quelqu'un avait une piste, je lui en serai reconnaissant, voilà l'exercice:
Soit \( f\) la fonction qui à tout \(x \) dans \(\mathbb{R} \) associe la partie entière de ce nombre tel que:
\[ f(x) \leq x < f(x) + 1 \]
Soit \( (u_n) \) la suite définie par \(u_0 = 1 \) et par la relation de récurrence:
Et après il y ad'autres questions sur lesquels je séche également mais peut-être qu'en ayant celle là le vais y arriver donc je les mets pas pour le moment
Il faut en effet faire une récurrence forte. Une fois que tu as ton hypothèse de récurrence, tu peux déduire certains trucs du fait que \( f(x)+1 > x \). Je crois par contre que tu auras besoin de montrer que \( (u_n) \) est à valeurs entières (ce qui n’a pas l’air très difficile).
Selon le lien de Guidito, à noter que l'exercice est coté dans la catégorie très difficile (TD) pour élève de terminale S... aspirant à une MPSI à LLG ...
Le TD , c'est peut-être pour la deuxième question !
Déjà pour cette première question, il faut un peu ruser , je pense, mais le résultat intermédiaire obtenu \(u_n \geq f(n/2) + 1 + f(n/3) + 1 + f(n/6) + 1\) me semble utile: Ibuprofène , je crois que tu as tord de le laisser tomber .
Pour aboutir à partir de là, on conclut facilement ( ne pas oublier l'évidence \(n/2+n/3+n/6 =n\) ...!) si on peut montrer le résultat général suivant suivant sur les parties entières:
\(f(a)+f(b)+1 \geq f(a+b)\).
Et ça, on peut le faire, je crois
quelques manœuvres sur les inégalités entre parties entières doivent faire l'affaire ( je pense qu'il faut jouer sur un passage entre inégalité stricte et large pour obtenir le 1 .)
- Edité par Sennacherib 24 mars 2015 à 22:54:58
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
D'accord ! Donc d'après \(f(x) + 1 > x \) on peut déduire: \( u_n > n/2 + n/3 + n/6 \iff u_n > n \) et comme \( (u_n) \) voit ses termes définis par des sommes d'entiers, tous ses termes sont des entiers, on peut donc en déduire: \( u_n \geq n + 1\).
C'est correct comme raisonnement ?
Ah oui exact ! sauf qu'il y a une question en moins dans le poly que tu donnes, et ça m'étonne pas vraiment que ça vienne de là, c'est un dm que l'on doit faire pour "préparer l'année prochaine", et donc en parlant de suite, comment faire la deuxième question ? Qui est:
2. Soit \(C \in \mathbb{R}^{+*} \), trouver \( C\) tel que:
\[ u_n \leq C(n+1) \]
Et dans la foulée la troisième question:
3. Que peut-on dire si \( u_0 = 2\), et si \( u_0 = 3\) ? Généraliser.
--> Ici je pense qu'il faut dire que la proposition démontrée dans 1. est toujours vraie ?
EDIT: je viens de voir la réponse de Sennacherib, bah oui c'est ce que j'ai vu, dans ma classe y'en a qu'ont réussis et ils veulent pas dire comment ... MPSI à LLG c'est un super bon niveau il me semble (ça me rassure un peu ^^) ? Oui finalement c'est ce que j'ai fait Mais ça manque peut-être un peu de rigueur ...
pour la question 2, on ne demande pas explicitement un \(C\) minimal . ( la question n'est pas a priori "trouver le plus petit \(C\) qui...)
Et il me semble relativement accessible de montrer par récurrence que \(C=3\) fait l'affaire.
Mais numériquement, il semble apparaître un majorant optimal plus fin.
le rapport \(\frac{u_n}{n+1}\) "oscille " entre une valeur min et une valeur max qui serait atteinte pour \(n=72\) et vaut \(\frac{169}{73}\) .
J'ai fait mouliner une boucle pour calculer la suite jusqu'à \(u_{ 1.000.000}\) et \(u_n \leq \frac{169}{73} (n+1) \) reste toujours vrai et l'égalité stricte ne semble obtenue que pour \(n=72\) .
Ce n'est certes pas une preuve mais une présomption raisonnable; quant à le prouver....j'en reste pour l'instant à \(C=3\)
- Edité par Sennacherib 25 mars 2015 à 12:03:50
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
D'accord dans ce cas je vais le prouver par récurrence avec C=3, en utilisant les déductions de la question 1.
Ce majorant optimal n'est pas trouvable par une "méthode" ? On ne peut que l'approximer ?
Sinon je me contenterai du C=3, oui j'ai aussi écrit un petit algo en python pour calculer rapidement les termes de cette suite, et c'est assez chaotique ... donc je comprend pas trop ce qui est attendu :/
il y a sans doute mieux que \(C=3\), mais montrer que le majorant optimum serait \( C= 169/73\sim 2.3150685 \) ne semble pas très évident .
La suite elle-même semble chaotique en apparence mais obéit quand même à des règles globales: on peut constater en fait que les termes \(u_n\) évoluent par paliers , ( ce qui est assez prévisible vu les indices en parties entières), mais en gardant une valeur constante sur des paliers de plus en plus longs, et des sauts entre paliers de plus en plus grands en moyenne. Cette variation palier/saut conditionne l'encadrement du rapport \(\frac{u_n}{n+1}\) qui apparaît donc numériquement avoir pour majorant ce C que j'ai indiqué. (testé jusqu'à n =1000.000 je rappelle, on ne dépasse jamais la valeur obtenu pour n=72 ) Et ce rapport oscille régulièrement entre 1.7 et C selon une période de plus en plus grande.
Pouvoir exprimer précisément cette variation de la longueur des paliers et de l'amplitude des sauts en fonction explicite de \(n\) semble par contre difficile ....sinon impossible
Question subsidiaire: peut -t-on prouver mieux que 3 en trouvant une fraction plus simple entre 3 et 169/73 ?
J'ai tenté , pour l'instant sans succès, d'établir \(C=7/3 \sim 2.3333 \) ...
- Edité par Sennacherib 26 mars 2015 à 9:34:23
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Ah si j'avais vu ta réponse plus tôt tbc92, j'ai rendu mon DM tout à l'heure n ayant laissé C = 3 et ce qu'a expliqué Sennacherib. On verra bien, merci pour votre aide en tout cas !
J'ai demandé à ceux qui ont réussis comment ils fallait faire et ils fallait traiter les cas n=2k, n=3k et n=6k pour étudier les variations par pallier, sans oublier que PPCM(2,3) = 6, et il existait une expression de C en fonction de u0 ce qui explique la dernière question ...
Ibuprofene, peut-tu élaborer sur la solution? Comment trouver le $C$ optimal? Ainsi que sa dépendance en $u_0$? Il me semble que c'est très difficile de prouver cela.
- Edité par BernardoPicão 9 octobre 2020 à 16:28:24
Ibuprofene ne s'est pas connecté depuis janvier 2020. Tu as fait un déterrage.
Il faut vérifier dans le profil la date de la dernière connexion.
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Exo terminale Suite et récurrence - Bloqué !
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