Bonjour,

Par définition un nombre exposant 0 (zéro) est égal à 1 (un).

De quand date cette définition ? Qui a établi celle-ci ?
Peut-on la démontrer ?

Bonne journée.

Le démontrer est très simple. Il suffit de se rendre compte d'une part que <math>\(n^1 = n\)</math> par définition, et que d'autre part <math>\(n^k * n = n^{k+1}\)</math>. Par conséquent, <math>\(n^0 * n = n^1\)</math> et donc <math>\(n^0 = 1\)</math>.

Tu as un petit problème dans ta démonstration caduchon.

Citation : Caduchon

Le démontrer est très simple. Il suffit de se rendre compte d'une part que n^1 = n par définition, et que d'autre part<math>\(n^k * n = n^{k+1}\)</math>. Par conséquent, <math>\(n^0 * n = n^1\)</math> et donc <math>\(n^0 = 1\)</math>

Or prenons n=0, <math>\(n^0 * n = n^1=0\)</math> erreur.
Je m'y suis intéressé il y a quelques temps, et <math>\(n^0 = 1\)</math> est une convention, qui a été faite pour que <math>\(x^n/x^n=1\)</math>.
Mais c'est en effet démontrale pour n différent de 0
Cependant pour n=0, il n'y a pas de réel convention, on dit souvent que c'est 1.

Pourquoi pas de convention, il faut avoir des notions de fonction à deux variables, <math>\(x^y = exp(yln(x))\)</math> qui n'est pas prolongeable par continuité en (0,0). Donc pas de convention acceptable!

Cela provient de la définition algébrique des puissances, définit du coup sur les entiers naturels (et y compris 0).

<math>\(n^m\)</math> est définit (algébriquement) comme le nombre de fonctions de <math>\(\{1,2,...,m\}\)</math> dans <math>\(\{1,2,...,n\}\)</math>.
Cela correspond bien à l'intuition remarquez : à chaque fois que l'on se fixe en entier dans <math>\(\{1,2,...,m\}\)</math>, alors on a <math>\(n\)</math> choix possibles d'images, et donc il y a bien <math>\(n^m\)</math> fonctions.

Par suite il n'y a qu'une seule et unique fonction d'un ensemble <math>\(A\)</math> vers l'ensemble vide... d'où le résultat.
La "convention" <math>\(0^0=1\)</math> (qui est analytiquement fausse (exercice : chercher des contres exemples)) provient également de cette définition.

J'ai pas le niveau de ceux qui ont posté au-dessus, mais je me souviens d'une démonstration que j'avais vue au collège :

Soient a et b des réels non nuls, et d'après les propriétés algébriques des puissances,
<math>\(a^0 = a^{b-b}\)</math>
<math>\(=\frac {a^b}{a^b}\)</math>
<math>\(=1\)</math>

Alors là Mannu tu es convaincant...
La démonstration est d'une simplicité rare !

Ça m'apprendra à dire des choses intéressantes.

(Au passage la notion de puissance négative demande aussi définition et justification, vu qu'ici on joue sur les définitions.)

@Aladix : qu'entends-tu par analytiquement fausse ?
Si tu es en analyse à une variable, avec des fonctions de <math>\(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\)</math>, on a : <math>\(\lim_{x \rightarrow 0} x^{x} = 1\)</math>. Tout cela a donc un certain sens, justement en analyse.

EDIT : La limite de cette fonction (<math>\(x \mapsto x^{x}\)</math>) peut justifier la convention d'un point de vue analytique, en considérant <math>\(0^{0}\)</math> comme sa limite.

J'entends par là que tu peux trouver deux fonctions <math>\(f\)</math> et <math>\(g\)</math> parfaitement définies de limites nulles tel que <math>\(\lim f(x)^{g(x)} \neq 1\)</math>. Je te laisse chercher deux telles fonctions, c'est pas très difficile et très très instructif !

En effet, j'aurais du préciser pour n > 0. Mais ce n'est pas très important au final.
Je ne connais pas bien l'histoire de l'exposant 0, mais je doute fort que ce soit une "convention"

S'en est une, j'ai été vérifié au près de mon prof de math.^^

Oui, enfin, j'ai probablement la même formation que ton prof de math
Et je n'en suis pas persuadé du tout.

Ah en effet.
Lequel à raison? Tel est la question

EDIT: après un peu de recherche beaucoup semble dire que c'est une convention pour que ça soit cohérent avec a^x b^y=a^(x+y).

Oui, mais à ce rythme là toutes les math sont une convention alors.
J'entend par "convention" un résultat qui aurait pu prendre objectivement plusieurs valeurs. S'il y a une justification, ce n'est plus une convention, mais une extension à un domaine plus grand d'une même propriété.

cf mon message plus haut, c'est une "convention" purement algébrique qui n'a aucun sens analytique et donc qu'on n'utilise que dans des cas où la puissance est définie telle que plus haut.

Citation : Caduchon

Oui, mais à ce rythme là toutes les math sont une convention alors.
J'entend par "convention" un résultat qui aurait pu prendre objectivement plusieurs valeurs. S'il y a une justification, ce n'est plus une convention, mais une extension à un domaine plus grand d'une même propriété.

Avec cette définition de la convention, on est entièrement d'accord!

0^0 = 1 est effectivement une convention souvent utilisé en algèbre

Il existe une autre convention qui elle est plus utilisé en analyse qui pose 0^0 = 0

D'ailleurs juste pour information, sans convention 0^0 est indéfini