Bonjour, dans le cadre d'un projet personnel, je recherche une formule à deux paramètres (sous la forme z=..., pas une équation genre z^3+c=...), qui est une fonction avec des propriétés bien précises :
Soit f: [0; +∞[ ² ⟼ [0, 1] et A une constante réelle positive
f est surjective
∀ x ∈ R, f(x, x) = A
∀∆> 0, f(x+∆, x) > 0 ⋀ f(x, x+∆) < 0
lim (x→+∞) f(x, 0) = 1
lim (y→+∞) f(0, y) = 0
Est-ce quelqu'un verrait une formule capable de faire a peu près cela ? J'ai planché pas mal de temps mais je n'arrive jamais a avoir toutes ces propriétés d'un coup :/
Si f(x, x) = A > 0 la fonction ne sera pas continue (en traversant la première bissectrice elle fera un saut), c'est normal ?
La 3ème condition, je préfère l'écrire : f(x, y) > 0 ssi x > y et f(x, y) < 0 ssi x < y.
Donc f est strictement positive en-dessous de la première bissectrice, et strictement négative au-dessus de la première bissectrice.
Est-ce que tu acceptes que la formule soit différente en-dessous et au-dessus de la première bissectrice ? Vu que la fonction fait un saut à cet endroit, je ne vois pas bien comment faire autrement.
Dans ce cas j'ai une proposition pour la partie en-dessous, c'est-à-dire lorsque x ≥ y : \( f(x, y) = \dfrac{(x-y) + A}{(x-y) + 1} \).
Et pour la partie au-dessus, c'est-à-dire lorsque x < y : \( f(x, y) = \dfrac{1}{x-y} \).
J'ai vérifié, il me semble que ça répond aux hypothèses.
Zut, j'ai oublié la surjectivité ! Pour la partie au-dessus je crois que c'est boen, surjectifs pour les nombres négatifs, mais pour la partie en-dessous ça ne va pas, si j'ai le temps j'y réfléchirais, je vois à peu près l'allure que ça doit avoir, reste à trouver la formule.
Quand, à x fixé, y tend vers moins l'infini, ce truc tend vers plus l'infini.
De plus, si je pose x = y + h (où h ≥ 0), j'ai : \( f(y+h, y) = \dfrac{h \, e^{-y} +A}{h + 1} \), et quand, à h fixé, y tend vers plus l'infini, ce truc tend vers 0. C'est donc bien surjectif sur les nombres positifs.
Merci beaucoup de ta réponse, les formules que tu donnes sont très proches de ce que je recherche. Mais y'a un petit truc qui me chiffonne...
J'ai du mal à visualiser pourquoi la fonction doit être discontinue au niveau de la première bissectrice.
Dans ma tête la fonction a un profil en S.
>C'est à dire que si l'on prend l'intersection du plan formé par la fonction et un plan normal au vecteur directeur de la première bissectrice (très joli façons de dire (1; 1) ) on obtient une courbe ressemblant plus ou moins à la fonction de répartition d'une loi normale (une pente au milieu, et les bords qui tendent vers 0 ou 1). Je m'en serai bien inspiré mais toutes les approximations que j'ai trouvées sont trop tirées par cheveux ou incomplètes.
Je n'ai pas non plus envie d'utiliser une méthode du style somme de loi uniformes pour tenter d'approximer une loi normale.
Enfaite la condition f(x,x)=A sert juste à éviter que la courbe ne "s'affale" (pas sur que ce soit très rigoureux) lorsque x et y deviennent trop grand, ce qui peut probablement être fait d'une autre manière.
Et pour la subjectivité pas besoin de voir plus loin que R+ pour x et y, les valeurs négative sont exclues
Edit:
Aaaaaaah okay je viens de capter que j'ai un peu bafouillé.
J'avais rajouté un A comme valeur de départ mais les autres propriétés avec les x >/< y c'est pas f(x y) >/< 0 mais f(x,y) >/< A et f'(x,y) >/< 0
"Si ce n'est pas dur, ce n'est pas intéressant"
"Si ce n'est pas dur, ce n'est pas intéressant"