Salut a tous !

Je suis en train de rédiger un papier sur lequel je dois étudier entre autre la fonction suivante :

\( \alpha(\mu, n)_k = \frac{\mu_k^n}{\sum_{k' = 0}^K \mu_{k'}^n} \)

avec \( [\mu_k]_{0 \leq k \leq K} \) un vecteur a coefficient réel, et n un nombre entier.
Je sais par instinct que cette fonction tend vers argmax quand n tend vers l'infini, mais j'aurais besoins d'informations plus précise, d'où ma question :
cette fonction est-t-elle connue ? nommée ? est-ce qu'il y a des travaux sur le sujet ?

J'ai déjà fait quelques recherches mais sans vraiment de succés, je tombe la plupart du temps sur la fonction softmax du fait qu'elle approxime aussi argmax.

Merci d'avance

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Edité par redlantern 9 août 2019 à 23:05:07

Bonjour,

Je réponds avec beaucoup de retard à la question posée !

Pour commencer, quand tu parles de "argmax" s'agit-il de la fonction qui  à un vecteur associe l'ensemble des indices pour lesquels les composantes sont maximales (comme sur la déf de wikipédia - où il faut faire l'analogie fonction <-> vecteur) ? Par exemple pour \(x=(1,3,3,1,3)\), \(\text{argmax}(x)= \{2,3,5\}\) car les composantes maximales de \(x\) sont \(x_2,x_3,x_5\).

Si c'est le cas, il y a bien un rapport entre ton \(\alpha(\mu,n)_k \) (qui au passage est un nombre et pas une fonction !) et argmax, mais pas aussi direct que tu le pressens !

Je suppose également que les composantes du vecteurs sont positives (ou alors il y a des valeurs absolues ou seulement des n pairs dans la formule de \(\alpha\))

En fait, il est plus "facile" d'étudier la quantité inverse \(\dfrac{1}{\alpha(\mu,n)_k}\). On a :

\[\dfrac{1}{\alpha(\mu,n)_k}= \sum_{k'=0}^{K}\left(\dfrac{\mu_{k'}}{\mu_k}\right)^n.\]

Or, si \(\mu_k< \max(\mu)\), \(\left(\dfrac{\mu_{k'}}{\mu_k}\right)^n \rightarrow +\infty \) quand \(n\) tend vers l'infini pour \(k'\) tel que \(\mu_{k'}=\max(\mu)\). Ainsi, dans ce cas, \(\dfrac{1}{\alpha(\mu,n)_k}\) tend vers l'infini et donc \(\alpha(\mu,n)_k\) vers \(0\).

et si \(\mu_k = \max(\mu)\), \(\left(\dfrac{\mu_{k'}}{\mu_k}\right)^n = 1\) si \(k'\) tel que \(\mu_{k'}=\max(\mu)\) et \(\left(\dfrac{\mu_{k'}}{\mu_k}\right)^n \rightarrow  0\) quand \(n\) tend vers l'infini si \(k'\) tel que \(\mu_{k'}<\max(\mu)\);

donc, toujours si \(\mu_k = \max(\mu)\), quand \(n\) tend vers l'infini

\[\dfrac{1}{\alpha(\mu,n)_k} \rightarrow \#\text{argmax}(\mu) = \text{ nb d'indices qui atteignent le max}.\]

On peut alors dire que :

\[ \text{argmax}(\mu)=\{k \; |\;\lim_{n} \alpha(\mu,n)_k \neq 0 \} \]

Voilà le rapport que je trouve... mais je ne sais pas si c'est intéressant...

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Edité par sylpro 14 août 2019 à 17:28:22