Bonjours j'ai un un petit problème suite a la réalisation d'un exercice d'annale non corrigé.

on me dit  que la fonction f est définie sur l'intervalle o;pi par : 

- si x=0 alors f(o)=1

- si x appartient a )0;pi) alors f(x)=(sinx)/x 

je sais que lim quand x tend vers 0 (sinx)/x=1

pour étudier ses variation j'ai calculer sa dériver  j'obtient f'(x)= (cosx*x-sinx)/x^2

je bloque ici je n'arrive pas a déterminer son signe quelqu'un aurait une idée? merci

Bonjour

Quel est le signe de \( cos (x) x - sin \) sur [ 0,pi] ?

Limite, tu peux rederiver sa et regarder le signe de \( -sin x \) ( je crois avoir bien dériver mais pas sur. ) tu obtiendra les variations de \( cos (x) x - sin \) et donc son signe et tu pourra remonter a ton pb initiale.

Il y a peut être plus malin en disant que le \( -sin\ (x \ ) = cos ( x + \pi/2 ) \) Mais je vois pas

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Edité par edouard22 16 février 2014 à 18:33:30

l'idée de redériver est bien mais je bloques sur le tableau de variation pour obtenir la fin du signe de cosx(x) - sin x car il y une phase descroissante et on passe de 0,96 a -pi mais je pense utiliser le théorème des valeurs intermédiaire et utiliser un algorithme de dichotomie par la suite pour trouver la valeur. vous en pensez quoi ?

Salut, si tu es au niveau Tle, je ne penses pas que tu connaisses la fonction \( \text{Arccos} \) pour donner la valeur exacte du nombre (parce qu'ici on se contrefiche de savoir quand la dérivée première s'annule. On a juste besoin de montrer qu'il existe sur chaque intervalle de longueur \( \pi \)( si je ne me trompes pas) une telle valeur, sa valeur exacte n'a pas d'importance. (avec discussion sur les intervalles \( [n\pi ; (n+1)\pi ] \) selon si n est pair ou non il me semble).

j'ai fais une énorme erreur en dérivant la fonction x(cosx)-sinx en fait on trouve en la dérivant -x(sinx) et cette fonction est negative sur (0 ; pi ) apres en s'aidant du TV on s'apercoit que la fonction x(cosx)-sinx est strictement négative sur )0;pi) donc f'(x) est aussi strictement négative donc f est strictement déscroissante 

Bonjour,

De manière alternative, il est également possible de démontrer le résultat sans dériver, en examinant le signe de f(a+h)-f(a) à l'aide de transformations trigonométriques.

Nicolas

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