Bonjour les Zéros. J'espère être dans la bonne section. J'ai un exercice à rendre pour après les vacances sur les fonctions dérivées. J'ai tout fait sauf deux questions. Je voulais vous demander si vous pouviez me corriger ce que j'ai déjà fait et m'éclaircir (sans forcément me donner la réponse) sur les deux questions non comprises.

Enoncé

Soit f une fonction définie sur IR\ {2} par:
<math>\(f(x)= (x+3)/(x-2)\)</math> et <math>\(C\)</math> sa représentation graphique dans un repère orthonormal (O;I,J) (figure ci-dessous).



1) Utiliser les points A: (0;-1.5) et B: (2;-4) de la figure pour déterminer le coefficient directeur de la tangente T1 à la courbe <math>\(C\)</math> au point A d'abscisse 0.
En déduire la valeur du nombre <math>\(f'(0)\)</math>.
Trouver par le calcul l'ordonnée à l'origine de cette tangente et conclure en donnant toute l'équation de cette tangente.

2) Calculer la fonction dérivée <math>\(f'\)</math> de <math>\(f\)</math>.
Calculer alors une équation de la tangente T2 à <math>\(C\)</math> au point D d'abscisse 4.
Tracer cette tangente sur la figure.

3) Déterminer les coordonnées des points E et F de <math>\(C\)</math> en lesquels la tangente à <math>\(C\)</math> a pour coefficient directeur -5.
Placer les points E et F et tracer ces tangentes.

Réponses

1) Coefficient directeur de la tangente T1:
<math>\(m = (yB - yA)/(xB - xA)\)</math>
<math>\(m = (-4 + 1.5)/(2 - 0)\)</math>
<math>\(m = -2.5/2 = -1.25\)</math>

La valeur de <math>\(f'(0)\)</math> sera donc de -1.25.

Ordonnée à l'origine de la tangente:

A(0 ; -1.5)
<math>\(y = mx + p\)</math>
<math>\(-1.5 = -1.25 * 0 + p\)</math>
<math>\(-1.5 = 0 + p\)</math>
<math>\(p = -1.5\)</math>

L'ordonnée de la tangente est de -1.5. Le résultat sera le même si l'ont utilise les coordonnées de B.

Equation de la tangente Je n'ai pas trouvé pour cette question.

2) Fonction dérivée <math>\(f'\)</math> de <math>\(f\)</math>:
<math>\(f(x) = (x + 3)/(x - 2)\)</math> ; <math>\(u = x + 3\)</math> ; <math>\(v = x - 2\)</math> ; <math>\(u' = 1 + 0\)</math> ; <math>\(v' = 1 - 0\)</math>
<math>\(f'(x) = ((u' * v) - (u * v'))/(v^2)\)</math>
<math>\(f'(x) = (1 * (x - 2) - (x + 3) * 1)\)</math>
<math>\(f'(x) = (x - 2 - x - 3)/(x - 2)^2\)</math>
<math>\(f'(x) = -5/(x - 2)^2\)</math>

Equation de la tangente T2:
<math>\(y = f'(a) * (x - a) + f(a)\)</math><math>\(a = 4\)</math>

<math>\(f(4) = (4 + 3)/(4 - 2)\)</math>
<math>\(f(4) = (7/2) = 3.5\)</math>

<math>\(f'(4) = -5/(4 - 2)^2 = -5 / 4\)</math>
<math>\(y = -5/4*(x-4)+3.5\)</math>
<math>\(y = -5/4x+(20/4)+3.5\)</math>
<math>\(y = -5/4x+(20/4)+3.5\)</math>
<math>\(y = -5x+8.5\)</math>

Voilà tout ce que j'ai trouvé. Je pense que dans l'ensemble c'est juste. Je n'arrive donc pas à faire la question 3) et à tracer la tangente de la question 2). J'espère que j'ai bien présenté le tout. Merci.

question 1: la tangente est de forme <math>\(y=ax+b\)</math> ou a est le coef directeur
en x=0 tu as trouvé f'(0)=-1.25=a (ton coef directeur est ta derivé )
<math>\(y=-1.25x+b\)</math> et tu sais que a x=0, y=-1.5 => <math>\(-1.5=-1.25*0+b \Rightarrow b=-1.5\)</math>

equation de la tangente: <math>\(y=-1.25x-1.5\)</math>

humm autre maniere, (celle qui est attendu je pense)
equation de la tangente a x=0 : y=f'(0)x+b ou b est l'ordonné a x=0 de la tangente

pour la 3.

Si la tangente a un coef directeur de -5 ca veut dire que ta derivé en ce point est egal à -5

Merci Vael de t'être penché sur le sujet. Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris. Je récapitule et dis-moi si ce que je dis est juste stp.

Pour la question 1:

J'aurai juste mais tu as trouvé le même résultat différemment sous la forme <math>\(y = ax + b\)</math>.
L'équation de la tangente, j'ai compris maintenant, merci. Tu as utilisé l'équation de type <math>\(y = ax + b\)</math> et remplacé les termes connus.

Pour la question 2:

Pour le tracé de la tangente T2, il faut en faite que je prenne 4 en abscisse et que la droite passe par ce point et le point D, c'est ça?

Pour la question 3:

Je n'ai pas vraiment compris désolé, c'est tout neuf pour moi.

pour la 1 c'est ca !

Ce qu'il faut retenir c'est que l'equation d'une tangente est toujours sous la forme ax+b !

pour la deuc j'avais pas vu tu t'es planté

Citation : JeremX

<math>\(y = f'(a) * (x - a) + f(a)\)</math><math>\(a = 4\)</math>

<math>\(f(4) = (4 + 3)/(4 - 2)\)</math>
<math>\(f(4) = (7/2) = 3.5\)</math>

<math>\(f'(4) = -5/(4 - 2)^2 = -5 / 4\)</math>

<math>\(y = 3.5 * (x - 4) + (-5/4)\)</math> <= Non
<math>\(y = 3.5x - 14 + (-5/4)\)</math>
<math>\(y = 3.5x - 15.25\)</math>

tu n'as pas bien appliqué la formule que tu as marqué au dessus (erreur d'inatention je pense)

Donc tu va obtenir ton equation de la tangente : y=ax+b tu la traces (comme tu trace n'importe qu'elle droite , tu prends 2 ou 3 points) et normalement si tu a trouver la bonne equation ta droite passera par D !

Pour la 3) on te dis le coef directeur de la tangent = -5. trouvez les points ou c'est vrais.
tu sais que <math>\(y=5x+b\)</math>et tu sais aussi que <math>\(y=f'(c)x+b\)</math> (ou c est l'abssice du ou des points que tu dois trouver !).
Que peux tu deduires de ces deux equations ?
Ensuite si on t'a fait calculer l'expression geenral de <math>\(f'(x)\)</math> dans la question 2 ce n'est pas pour rien
Tu dois arriver a une equation a une inconnu pour trouver les abscisses des points Eet F

Merci de me l'avoir fait remarquer. J'ai corrigé et j'obtiens donc:
<math>\(y = -5/4*(x-4)+3.5\)</math>
<math>\(y = -5/4x+(20/4)+3.5\)</math>
<math>\(y = -5/4x+(20/4)+3.5\)</math>
<math>\(y = -5x+8.5\)</math>

Pour la question 3), c'est le flou total. Il faudrait que je calcule <math>\(f'(5)\)</math> pour trouver le bon résultat?
J'obtiendrai donc:
<math>\(f'(5)=-5/(5-2)^2=-5/9\)</math>
Et après si, je serai sur la bonne voie, je saurai pas comment continuer.

le dessin est faux (c'est votre prof qui vous la donné ?) le point D es ta 4 carreau alors qu'il devrait etre a 3.5.. fin bref pas tres grave tu peux le corriger.

Sinon non ce n'est pas la bonne voie. Calculer f'(5) te donne juste le coeficient directeur de ta la tangente au point f(5). (le a de y=ax+b)

ici on te donne le coeficient directeur ! Il est egal a (-5) et tu dois trouver les points ou il est egal a -5 !

Oui, c'est le prof qui nous l'a donné.

Voilà ce que j'ai trouvé:
<math>\(y=ax+b\)</math>
<math>\(y=-5x+b\)</math>

Pour A(0;-1.5)
<math>\(yA=-5*xA+b\)</math>
<math>\(-1.5=-5*0+b\)</math>
<math>\(-1.5=b\)</math>

Pour B(2;-4)
<math>\(yB=-5*xB+b\)</math>
<math>\(-4=-5*2+b\)</math>
<math>\(-6=b\)</math>

Je sèche désolé, je ne comprends pas comment procéder...

Nan

ici ton point A et B ne nous interresse plus ! On a vu qu'en A l'equation de la tangente est <math>\(y=-1.25x-1.5\)</math>

Donc essayer de faire rentrer les coordonnée de ces point dans une autre equation de tangente ne signifie pas grand chose mathematiquement !

on cherche le point E et le point F ou la tangente a un coef de -5:
<math>\(y=-5x+b\)</math> => <math>\(f'(e)=f'(f)=-5\)</math> car le coef directeur de la tangente d'un point de la courbe n'est rien d'autre que la derivé de ce point !

et tu sais que <math>\(f'(x)=\frac{-5}{(x-2)^2}\)</math> !

Salut Vael (bonne année au passage à toi et ceux qui lisent ce topic ), je suis désolé d'avoir mis le temps à donner suite à ce topic mais avec les fêtes et un problème d'Internet je n'ai pas pu répondre. Pour la question 3), je n'ai rien trouvé, j'ai demandé à des amis qui sont en terminale et qui font les primitives actuellement, donc ils ont fait les dérivés. Ils n'ont pas trouvé non plus comme moi. Cette question là je ne saurai pas y répondre, on a fait un petit exercice en rapport avec mais sans vraiment l'approfondir. Pour moi x = 5 mais après je ne sais que faire.

Euh j'ai lu vite fait( trop peut être) Mais l'équation d'une tangente, ce n'est pas:

<math>\(y = f'(a) * (x - a) + f(a)\)</math>

Vael me l'avait déjà fait remarquer et j'avais corrigé mon erreur ensuite. Mais merci quand même.

Alors corrige ton premier post, car sinon on vas te faire des remarques qui ont déjà était dite, comme celle-ci par exemple

C'est édité.

Le coefficient directeur de la tangente en <math>\(x\)</math> est <math>\(f'(x)\)</math>. On veut que ce coefficient directeur vale <math>\(-5\)</math>.
On a donc :
<math>\(f'(x) = -5\)</math>
Il ne reste plus qu'à résoudre cette équation.
La question t'aide même : on te dit qu'il y a deux points, donc deux solutions ; ça peut t'aider à vérifier...

En résolvant cette équation, j'ai obtenu comme solutions 3 et 1. J'ai vérifié à la calculatrice et c'est juste. Merci à vous.