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Edité par HdghgGdfsgs 28 septembre 2019 à 1:17:01

Hello.

La question est bien de regarder le raccordement en 0. Cependant, tu peux avoir \( lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) =   lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) \) sans que la fonction soit continue.  En particulier, si f(0) = 10, la fonction n'est plus continue. 

Edit :  Pour la question 2, tu dois montrer que f est infiniment dérivable sur R* donc sur R privé de 0. Tu peux donc tu as juste a verifier que f sur R* est bien infiniment derivable, ce qui se vérifie bien dans ce cas :) 
Montrer que f est \( C^{\infty} \)  sur R est plus compliqué à cause du comportement en 0 (d'ou les questions 3 et 4).

Pour l'exercice 2 : Comment as tu commencé ? La méthode de variation de la constante permet de determiner la solution particulière d'une EDL avec second membre connaissant l'ensemble des solutions de l'equation homogène. Ici donc équation est déjà homogène (le second membre est nul) donc pas de question de variation de la constante. 

hs : de façon général, on essaye toujours d'éviter la variation de la constante en utilisant la méthode du taupin astucieux

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Edité par edouard22 28 septembre 2019 à 3:59:47

Merci beaucoup pour la réponse !

Pour l'exercice 2 : justement, comme la méthode de variation de la constante ne fonctionne pas, je ne vois pas comment faire...

Avez-vous une idée ?

Encore une fois, la méthode de variation de la constante s'utilise dans un contexte précis :

− 1. On a trouvé les solutions de l'équation homogène.

− 2. On cherche à présent à résoudre une équation avec second membre, et pour ça on utilise la méthode de variation de la constante.

Ici, ce n'est absolument pas le contexte : l'équation n'a pas de second membre (donc la méthode de variation de la constante est hors-sujet !), et en plus on n'a pas encore trouvé les solutions de l'équation homogène (c'est justement ce qu'il faut faire).

L'équation est du premier ordre : \( a(x) y' + b(x) y = 0 \). Une méthode systématique est de procéder ainsi (si on n'a pas vu de formule toute faite, genre astuce de taupin) :

\[ a(x) y' = -b(x) y \]

\[ \frac{y'}{y} = -\frac{b(x)}{a(x)} \]

en supposant bien sûr que \( a(x) \) ne s'annule pas, ce qui est facile à vérifier ici, et idem pour \( y \), ce qui limite peut-être le domaine de définition.

Si deux fonctions sont égales, leurs primitives le sont aussi à une constante près, ce qui donne :

\[ \ln \, |y(x)| = F(x) + k \]

où \( F \) est une primitive de la fraction de droite, et \( k \) est une constante. Il me semble que trouver une primitive de la fraction de droite n'est pas trop compliqué à condition de séparer en deux la fraction.

En passant à l'exponentielle, on en déduit l'expression de \( y(x) \).

Si tu n'as pas vu cette méthode en cours, tu en as forcément vu une autre qui est adaptée aux équations du type \( a(x) y' + b(x) y = 0 \).

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Edité par robun 28 septembre 2019 à 18:40:55

J'ai trouvé une piste : en divisant par x² différent de 0.

Pour la question 1, je dois donc résoudre y'(x)+(2x-1)/x² y(x)=0.

Je dois donc trouver une primitive de (2x-1)/x², mais je n'y arrive pas... Comment faire ?

HdghgGdfsgs a écrit:

Je dois donc trouver une primitive de (2x-1)/x², mais je n'y arrive pas... Comment faire ?

en prépa, tu n'arrives pas à trouver une primitive de \(\frac{2x-1}{x^2}\), étrange !  Et en remarquant simplement que \(\frac{2x-1}{x^2}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\), toujours pas ?

autre remarque 

dans la fiche du prof évoquée dans le premier post, n'y avait-t-il pas la méthode par séparation des variables qui se ramène à une recherche de primitive.

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Edité par Sennacherib 28 septembre 2019 à 23:14:45

Récapitulatif de là où j'en suis pour ces 2 exercices :

Exercice 1 :

1, 2, et 3 : OK.

4. Cette question me pose problème, j'ai 2 idées : Il faut calculer la limite de f^n(x) quand x tend vers 0 ?

Ou il faut plutôt calculer la limite du taux d'accroissement de f^n(x) quand x tend vers 0, soit lim quand x tend vers 0 de [f^n(x)-f^n(0)]/x ?

Je suis vraiment perdu pour cette question 4...

5 et 6 : OK.

Exercice 2 :

1. Je dirais que l'équation (E) admet pour solutions les fonctions x-> C*exp(-(2*ln(x)+1/x)) avec C appartenant à R. Est-ce correct ? C'est que ça qu'il faut répondre pour la 1 du 2 ?

2. Par contre, aucune idée pour cette question, je ne la comprends pas...

Merci vraiment beaucoup pour l'aide !

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Edité par HdghgGdfsgs 29 septembre 2019 à 1:07:42

Pour la question 4, tu cherche à étendre le résultat de la question 2. Pour cela, tu dois montrer que pour tout n, \( f^{(n)} \) est continue sur R. Tu l'a déjà montré sur R* donc tu as juste a gérer le raccordement en 0.  (qui se passe bien grasse à l'exponentiel) 

Par curiosité, qu'a tu mis pour la question 5 ? 

Pour l'exo 2: 

oui, c'est ca. Ici tu as résolue ton équation sur ] 0 ; inf [ 

Or on te demande les solutions continue sur [0 , inf[, en utilisant x=0, dans la premiere équation tu obtiens f(0) = 0.  Tu vois donc que tu te retrouve avec un problème similaire à ce que te donne l'exo 1. Tu exprime la continuité en 0 et tu devrais trouver une condition sur C pour que la solution soit bien continue. 

D'ailleurs, pense à simplifier tes expressions exp(a+b) =exp(a)exp(b) tu as donc ici : 

\[ f : x  \rightarrow C \frac{1}{x^2} \mathrm{exp} \left( -\frac{1}{x} \right) \]

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Edité par edouard22 29 septembre 2019 à 4:36:48

Merci pour votre réponse.

Pour la question 4, j'ai donc fait une récurrence et j'en suis ici : je dois montrer que

Pn(h)/h^(3n+1) * exp(-1/h²) tend vers 0 quand h tend vers 0... J'ai essayé avec des croissances comparées, des changements de variables, mais rien n'aboutit.... Alors comment faire ?

Merci beaucoup !

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Edité par HdghgGdfsgs 29 septembre 2019 à 14:44:00

HdghgGdfsgs a écrit:

Je dois donc trouver une primitive de (2x-1)/x², mais je n'y arrive pas... Comment faire ?

Par exemple en faisant comme j'avais dit juste avant : « trouver une primitive de la fraction de droite n'est pas trop compliqué à condition de séparer en deux la fraction »... (OK, c'est un peu tard pour faire la remarque. Mais bon, j'avais anticipé la difficulté mais tu ne l'as pas remarqué...)

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Pour la  question 4, effectivement ça devrait marcher avec les croissances comparées. On a un polynôme multiplié par une exponentielle qui tend vers 0, on sait que l'exponentielle l'emporte, donc ça tendra vers 0. Il ne reste plus qu'à l'écrire de façon rigoureuse. Ça ne me paraît pas difficile. Par exemple en posant y = 1/x pour se ramener à l'infini (j'y vois plus clair) :

\[ \frac{\exp(-1/{x^2})}{x^{3n}} = y^{3n} e^{-y^2} \]

On sait que l'expression de droite tend vers 0 lorsque y tend vers \( +\infty \) (croissances comparées), donc l'expression de gauche tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Puisque le polynôme admet une limite finie en 0, on en déduit que \( f^{(n)}(0) \) tend vers 0. Quelque chose comme ça.

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Edité par robun 29 septembre 2019 à 17:14:33

OK, merci beaucoup !

Pour l'exercice 2 :

Je propose : l'équation (E) admet pour solution les fonctions : x-> C*exp(-(2ln(x)+1/x)) avec C appartenant à R. Est-ce correct ?

Pour la 2, il faut faire un calcul de limite en 0 pour la fonction trouvée et sa dérivée ?

Je n'ai pas encore réussi ces calculs... Alors comment faire ?

Merci beaucoup !