Bonjour, alors voila j'ai quelques exercices et paris eux il faut que je trouve la forme polaire d'un nombre complexe.
exemple d'énoncé : écrire sous forme polaire z=( (1 + i racine(3) ) / ( 1 - i) )^2
Alors je sais comment procéder de mes souvenirs de terminale, mais selon vous quelle est la manière de procéder la plus élégante de faire ?

Sinon j'ai une autre question, on nous a donné un exercice de trigonométrie, l'énoncé est : "linéariser"
et en dessous il y a cos^2(x) , sin^2(x), cos^2(x)sin^2(x), sin^3(x).

Qu'est-ce que ca veut dire ? je ne comprend vraiment pas le sens de l'énoncé.
Merci d'avance !

Pour mettre sous forme polaire le nombre complexe qui t'est donné, tu multiplies le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur ; ensuite, tu le passes sous la forme exponentielle.

Quant à ta deuxième question, linéariser revient à réécrire l'expression pour qu'il n'y ait plus de puissance.
Par exemple, pour le premier : <math>\(cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}\)</math>

La méthode la plus élégante à mon goût pour trouver la forme polaire quand tu n'as pas directement un complexe écrit sous la forme <math>\(z=a+ib\)</math>, mais écrit sous forme de produit ou quotient de nombre complexe, par exemple <math>\(z=\frac{1+i\sqrt{3}}{(1-i)^2}\)</math> est de passer par la forme exponentielle des "sous nombres complexes" c'est-à-dire ici <math>\(z_1=1+i\sqrt{3}\)</math> et <math>\(z_2=1-i\)</math> et d'appliquer ensuite les relations sur les exponentielles pour obtenir la forme exponentielle de <math>\(z\)</math> et la transformer en forme polaire (ce qui est direct)

Dans ton exemple :
<math>\(z_1=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}\)</math>
<math>\(z_2=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)</math>

D'où <math>\(z=\frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})^2}=\frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}=e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)}=\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\)</math>

Cette méthode n'est pas toujours aussi pratique, surtout si les angles ne sont pas les angles dont on connait les sinus et cosinus.



Pour ta deuxième question, linéariser, c'est écrire <math>\(\sin^n(x)\)</math> ou <math>\(\cos^n(x)\)</math> sous forme de somme de cosinus ou sinus de la forme <math>\(\sin(kx)\)</math> et <math>\(\cos(kx)\)</math> avec <math>\(k\)</math> entre <math>\(1\)</math> et <math>\(n\)</math>. La méthode la plus générale est de d'utiliser le fais que <math>\(\cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\)</math> et <math>\(\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)</math> puis de développer.

comment ecrire la forme polaire du courant en fonction de temps

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