Bonsoir

j'aimerais bien savoir/connaitre la démonstration de la formule d'addition trigo permetant de passer de ..à :

<math>\(cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)\)</math>

j'ai trouver un lien de la démonstration mais je ne comprend pas certains trucs .... Démonstration

dans le lien , la partie ou on cite ceci :
<math>\(vecteur.OA = cos(a)*i + sin(a)*j\)</math>

pourquoi a ton mit le "+" entre le cos.a et sin.a??
si c'est pour la longueur !! ils seraient bien en puissance 2; sous racine !!!

quelqu'un peux m’expliquer !!

Citation : Dr.Crow

<math>\(vecteur.OA = cos(a)*i + sin(a)*j\)</math>

il est marqué en realité : <math>\(\vec{OA} = cos(a)*\vec{i} + sin(a)*\vec{j}\)</math>
i et j sont des vecteurs et c'est important !

On ne considere par la norme des vecteur ici ! c'est pourquoi on utilise pas la formule de la norme !
Ce sont des ici tes vecteurs unitaire (de norme 1) qui definisse ton plan.
Pour tous vecteur de ton plan (<math>\(\vec{u}\)</math> par exemple) tu pourras ecrir: <math>\(\vec{u}= a*\vec{i}+b*\vec{j}\)</math> (avec a et b réel)

La on se lmite au cecle trigonometrique (cf le dessin du wiki)
on projet le veteur OA selon l'axe x et l'axe y.
La projection de OA celon x =<math>\(cos(a)*\vec{i}\)</math>
La projection de OA celon y =<math>\(cos(a)*\vec{j}\)</math>
et comme le vecteur OA et egal a la projection celon x plus la projection celon y tu as :
<math>\(\vec{OA} = cos(a)*\vec{i} + sin(a)*\vec{j}\)</math>

Aide toi de la figure à côté, et i et j sont des vecteurs, pas des valeurs comme tu semble le croire.

ne serai-ce en quelque sorte la relation de Chasles !!! ?

Tu peux également démontrer ces formules en utilisant les formules d'Euler.
C'est à dire <math>\(cos\, x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\)</math> et <math>\(sin\, x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)</math>. Il suffit de faire le calcul direct.

Mais seulement si tu as du mal avec la géométrie !

Bon eh bien :
Je l'ai fait assez vite mais, avec le produit scalaire :
En projeté orthogonal :
<math>\(\vec{OA}.\vec{OB} = cos(b - a)\times OA \times OB\)</math>
Ici : reporte toi a une figure, avec <math>\((\vec{OU} ; \vec{OA}) = a\)</math> et <math>\((\vec{OU} ; \vec{OB}) = b\)</math> donc <math>\((\vec{OA} ; \vec{OB}) = b - a\)</math> Figure du genre celle de wikipedia, en un peu différente
Ensuite, avec les coordonnées, on prend le repère <math>\((O; \vec{OU} : \vec{OU} + \frac{\pi}{2})\)</math>
On a donc :
<math>\(\vec{OA}(cos(a) ; sin(a))\)</math>
<math>\(\vec{OB}(cos(b) ; sin(b))\)</math>
Donc :
<math>\(\vec{OA}.\vec{OB} = xx' + yy' = cos(a) \times cos(b) + sin(a) \times sin(b)\)</math>
De là : on a :
<math>\(cos(b - a)\times OA \times OB = cos(a) \times cos(b) + sin(a) \times sin(b)\)</math>
Or comme on est dans le cercle trigonométrique :
<math>\(OA = OB = 1\)</math> et <math>\(cos(b - a) = cos(a - b)\)</math>
Donc
<math>\(cos(a - b) = cos(a) \times cos(b) + sin(a) \times sin(b)\)</math>
Je te laisse trouver cos(a + b) du coup

je comprends de mieux en mieux maintenant

Merci a vous, et bonne journée

Doc !!