Bonjour/Bonsoir,

Avant de même entrer dans le sujet, je tiens à préciser mon niveau : dans quelques longues semaines, rentrée en première scientifique. Pourquoi mettre en évidence ce détail ? Tout d'abord, cela pourra certainement vous aider, et, de plus, j'ai cru comprendre (façon de parler, j'en suis certain) que c'est par la mise en relation/correspondance de concepts mathématiques qui n'ont pas forcément grand chose à voir que l'on peut progresser (une "méthode" parmi tant d'autres).

Revenons-en au sujet, en partant du théorème de Gauss-Bonnet, j'ai cru comprendre (bon, ici je recopie mot pour mot, mais une fois de nouveau : façon de parler) "que l'intégrale de toutes les courbures ne change pas quelle que soit la déformation" (ou sous d'autres termes: "lorsque l'on déforme une sphère ronde en un cube, la courbure totale[1] reste constante : elle est juste concentrée sur certaines régions qui, à la limite, donnent lieu aux sommets du cube"). [Au risque de dire une bêtise, est-ce le caractère homéomorphique des objets topologiques étudiés qui permet cela ?] "Qui, à la limite" Cette tournure de phrase m'a beaucoup intrigué, un peu plus tard il est dit cela : "les sommets sont des singularités de la métrique correspondant à des concentrations infinies de la courbure". Maintenant cela énoncer, je peux vous parler de norme-p. Voyons cette image : https://fr.wikipedia.org/wiki/Norme_(math%C3%A9matiques)#/media/File:Vector-p-Norms_qtl1.svg. C'est la première chose qui m'est venue en tête en lisant l'article d'Images des Mathématiques. Je me demande donc si une corrélation entre ces deux concepts peut-elle être faite ? Lorsque p tend vers \(+\infty \), que remarque-t'on ? En effet, un sommet. Mais maintenant que j'écris ces lignes, je me pose de nouvelles questions, qui pourraient mettre en tort tout ce que j'ai eu pu précédemment dire. Il n'y a aucune dépendance à la métrique dans le théorème de Gauss-Bonnet, bien que la courbure "totale" reste constante. Je m’emmêle, plutôt beaucoup, les pinceaux. Ca me dépasse, "quelque peu" x). J'ai la candide intuition qu'il pourrait y avoir corrélation, je trouve(rai) ça beau.

J'avais d'autres questions à poser, mais je vais tout d'abord commencer là, et voir jusqu'à quel point j'ai pu me tromper et compagnie.

[1] Je me demande d'ailleurs ce qui est, exactement, sous entendu par "courbure totale". Si ce n'est qu'une histoire de distinction local(mean curvature ?)/global, ou autre ?

PS: Je puise les "citations" d'un article d'Images des Mathématiques http://images.math.cnrs.fr/Geometrie-et-Dynamique-des.html et d'un polycopié, mais je ne l'ai utilisé que pour une """compréhension""" "plus approfondie".

Merci bien de votre lecture,

Respectueusement.

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Edité par Unk's 23 août 2018 à 8:55:55

Salut,

Bien que n'ayant pas lu l'article, et n'ayant pas toutes les connaissances nécessaires à la compréhension des résultats que tu mentionnes, je pense qu'il est judicieux de te faire quelques recommandations.

Une "méthode" encore plus efficace pour progresser en mathématiques est de faire les choses dans l'ordre. Si tu es en seconde, tu as un milliard de concepts à étudier avant de lire des choses telles que "Gauss-Bonnet". C'est très très bien que tu soies attiré par les mathématiques, mais n'essaie pas de brûler toutes les étapes. Tu ne pourras pas bien comprendre sinon. En mathématiques, les concepts compliqués reposent sur d'autres concepts un peu moins compliqués, qui reposent sur d'autres concepts encore et ainsi de suite... Cela forme une espèce de pyramide, avec beaucoup de choses à apprendre avant d'attaquer ce genre de sujets.

Commence par prendre le programme de première, de terminale, et finis-les entièrement. Une fois que ce sera fait, attaque le programme de prépa. Quand tu le maîtriseras, cherche des cours sur des sujets spécifiques (du genre géométrie) sur les sites de différentes universités.

Quand ce sera fait (dans quelques années si tu travailles bien), on pourra vraiment discuter de ce genre de questions. Le but n'est pas de te décourager, et peut être un très bon professeur et capable de vulgariser grandement pourrait-il répondre à ta question de façon plus pertinente, mais en dehors de ça je pense que la manière la plus rapide de répondre à ta question est de suivre les cours de maths dans l'ordre (à ta vitesse, si le lycée est trop lent, bien entendu).

PR

Bonjour Unk's,

Ce serait déjà bien que tu comprennes ce que tu apprends ou lis. Ce type de problème est en lien avec la géodésique : calculer la distance la plus courte entre deux points d'une surface courbe. Les deux célèbres Riemann et Einstein se sont cassés les dents dessus bien avant toi, ce n'est pas un sujet simple même pour les plus experts en mathématique ...

La meilleure vidéo de vulgarisation que je connaisse, c'est celle de ScienceClic :

https://www.youtube.com/watch?v=nOuDInZRVhY

"les sommets sont des singularités de la métrique correspondant à des concentrations infinies de la courbure"

En géodésique, on travaille avec l'espace-temps. A priori (je ne suis pas expert), il semble que l'on puisse prolonger la distance la plus longue (c'est à dire celle qui fait un angle droit, formant le sommet du triangle rectangle) dans le temps et ainsi la métrique apparaît infinie.

Le conseil de PR vaut aussi pour moi. Apprends à ton rythme, dans l'ordre des choses. Pour la géodésique, il vaut mieux avoir de solides connaissances en vecteurs, espace de Hilbert avec les nombres complexes, intégrales et produits tensoriels. Ce n'est pas inaccessible mais tu auras largement d'autres beautés mathématique à découvrir avant d'en comprendre tous les fondements.

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Edité par yarflam 17 août 2018 à 13:25:33