Bonjour à tous!
Je viens vous demander une petite aide en géométrie.
Je cherche en fait les coordonnées des 2 points sur un cercle, telle que la tangente qui passe par chaque point passe aussi par l'origine.
Donc, en gros, je cherche les coordonnées des 2 points rouges que vous voyez ci-dessous:



Bon pour éviter tout problème, on considère que notre cercle ne contient pas l'origine (car dans ce cas ces 2 points n'existent pas).

Alors j'ai trouvé l'équation de la tangente sur un cercle de centre <math>\((x_{0},y_{0})\)</math>, au point <math>\((x_{1},y_{1})\)</math> (nos inconnues donc):

<math>\((x_{1}-x_{0})(x-x_{0})+(y_{1}-y_{0})(y-y_{0})=r^{2}\)</math>

(Donc nous on connait <math>\(r,x_{0},y_{0}\)</math> et on cherche <math>\(x_{1},y_{1}\)</math>)

Mais je ne sait pas trop comment ajouter la condition que la droite doive passer par l'origine pour trouver mes 2 inconnues<math>\(x_{1},y_{1}\)</math>. Qui normalement devraient avoir 2 solutions chacune. Et je ne suis même pas sûr si je suis dans la bonne voie, où s'il existe une manière plus simple de trouver ces 2 points.

Merci d'avance pour votre aide

On a 2 equations: celle du cercle C et celle de la droite D passant par l'origine. (Cette droite n'est pas encore tangeante au cercle!!!)
C: <math>\(r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\)</math>
D: <math>\(y=mx+p\)</math> (p = 0 car elle passe par (0,0) d'accord?)

En insérant l'une dans l'autre on va trouver les intersections de D avec C, en fonction de la valeur de m:
<math>\(r^2=(x-x_0)^2+(mx-y_0)^2\)</math>
<math>\((m^2+1)x^2-2(my_0+x_0)x+x_0^2+y_0^2-r^2=0\)</math>

Les intersections seront déterminée en calculant les solutions de cette équation. (calcule du delta, etc.)
Or nous on veut que cette droite soit tangente au cercle => on ne veut qu'une seule intersection! Ce qui revient à demander que le delta de notre équation soit nulle! (d'accord?) Et par conséquent implique une condition sur m.
Je te laisse terminer, je reviens plus tard si t'as besoin d'un coup de main.

Salut et merci de ta réponse claire.
Alors en effet ça marche assez bien. J'ai chercher le delta de ta dernière équation et j'ai trouvé les pentes de mes droites:

<math>\(m_{1,2}=\frac{-2x_{0}y_{0}\pm \sqrt[2]{4x_{0}^{2}y_{0}^{2}-4(r^{2}-x_{0}^{2})(r^{2}-y_{0}^{2}) }}{2(r^{2}-x_{0}^{2})}\)</math>

Par contre, pour trouver mes points j'ai un petit problème.
J'ai repris <math>\(r^2=(x-x_0)^2+(mx-y_0)^2\)</math> et je comptais remplacer m par un des deux m trouvé ci-dessus et je comptais trouver x, qui est donc la coordonnée x de l'un des deux points recherchés sur le cercle.

Le problème est que c'est une équation du deuxième degré. Alors est-ce que delta vaut bien 0 dans ce cas? ou pas? Je n'ai pas le courage de tout développer (il faut calculer entre autre <math>\(m^{4}\)</math> ), mais je veux juste être sûr que x est unique pour un m donné.

Merci encore pour ton aide!

Citation : Aeidail

Salut et merci de ta réponse claire.
Alors en effet ça marche assez bien. J'ai chercher le delta de ta dernière équation et j'ai trouvé les pentes de mes droites:

<math>\(m_{1,2}=\frac{-2x_{0}y_{0}\pm \sqrt[2]{4x_{0}^{2}y_{0}^{2}-4(r^{2}-x_{0}^{2})(r^{2}-y_{0}^{2}) }}{2(r^{2}-x_{0}^{2})}\)</math>

Par contre, pour trouver mes points j'ai un petit problème.
J'ai repris <math>\(r^2=(x-x_0)^2+(mx-y_0)^2\)</math> et je comptais remplacer m par un des deux m trouvé ci-dessus et je comptais trouver x, qui est donc la coordonnée x de l'un des deux points recherchés sur le cercle.

Le problème est que c'est une équation du deuxième degré. Alors est-ce que delta vaut bien 0 dans ce cas? ou pas? Je n'ai pas le courage de tout développer (il faut calculer entre autre <math>\(m^{4}\)</math> ), mais je veux juste être sûr que x est unique pour un m donné.

Merci encore pour ton aide!

Tu y es!!
On revient donc bien à l'équation <math>\(r^2=(x-x_0)^2+(mx-y_0)^2\)</math> dont on avait exigé que <math>\(\Delta = 0\)</math>.
Donc on va retrouver 2 solutions, une pour chaque m!

(je dis une connerie?? )

Euh oui. Mea culpa. J'ai dis n'importe quoi

Ca marche très bien.

Merci beaucoup!