Bonjour, 

Je suis actuellement bloque sur un exos dans lequel faut prouvez des idendites sur le gradient.

On nous une fonction f=f(x,y,z) et deux champs vectoriel A=A(x,y,z) et B = B(x,y,z) on me demande de prouver que 

grad.(fA)=(grad f).A+f(grad.A)

J'ai pense a resoudre grad.(fA) pour arrive a (grad f).A+f(grad.A) mais dans la premier expression grad.(fA) avant d'utiliser l'operateur gradient quelle est le resultat d'une multiplication entre une fonction (qui en soit renvoi des scalaires) avec un champ vectoriel ?

Si A avait ete une fonction comme f j'aurai pose:

d(fA)/dx = f*dA/dx +A*df/dx et ainsi de suite

merci d'avance

P.S: j'utilise un clavier QWERTY d'ou l’absence d'accent dans le post

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Edité par Ilan00 6 mars 2018 à 16:42:11

si on parle bien du  gradient vectoriel   c'est un tenseur d'ordre 2 que on peut représenter sous forme d'une matrice. Il est plus facile d'utiliser une notation indicielle que x,y,z.  Donc \(\vec{A}\) de composantes \(A_i\) coordonnées \(x_j\) avec \(i,j=[1,2,3]\).

Les neufs composantes de \(\overrightarrow{grad}(\vec{A})\) sont \(\dfrac{\partial A_i}{\partial x_j}\) .
Si on multiplie \(\vec{A}\) par une fonction \(f(x,y,z)\), les composantes de \(f\vec{A}\) sont \(fA_i , \; i=1,2,3\).
Donc les neufs  composantes de \(\overrightarrow{grad}(f\vec{A})\) sont   \(\dfrac{\partial f A_i}{\partial x_j}=f \dfrac{\partial  A_i}{\partial x_j} +A_i  \dfrac{\partial  f}{\partial x_j} \) .

En mettant les 9 composantes sous forme matricielle , cette somme de composantes donne la somme de deux matrices 3x3.

La première est   \(f \overrightarrow{grad}(\vec{A})\).

Les   coefficients de la seconde sont les 9 produits des composantes du gradient de f et du vecteur \(\vec{ A}\). C'est donc en fait le produit tensoriel des deux vecteurs que on peut écrire formellement \(\overrightarrow{grad}(f)\otimes \vec{A} \)

Donc on a l'identité tensorielle:

\(  \overrightarrow{grad}(f\vec{ A}))=\overrightarrow{grad}(f)\otimes \vec{A} +f\overrightarrow{grad}(\vec{A})\)

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Edité par Sennacherib 6 mars 2018 à 19:50:14