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Indicatrice d'Euler et divisibilité

    20 juin 2022 à 10:51:00

    Bonjour,

    Je vous soumets un problème qui me trotte dans la tête depuis plusieurs jours, j'espère que vous pourrez m'aider.

    Soit phi l'indicatrice d'Euler, a un entier naturel supérieur à 1 et n un entier naturel multiple de 4.

    Montrer que si le reste de la division de phi(a^n-2)+1 par n vaut n-1 alors phi(a^n-2)+1 est toujours un nombre premier.

    Pas moyen d'avoir une piste. J'avais pensé au théorème de Fermat ou de Wilson...

    Merci à vous.

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    Jeu du carré rouge modifié, quel niveau atteindrez-vous ? http://squared.go.yj.fr

      22 juin 2022 à 23:22:55

      Bonjour,

      quelles sont les propriétés de la fonction φ ?

      Par exemple sous quelles conditions (simples je te rassure) a-t-on n | φ(aⁿ-1) ?

      Comment exprimer φ(ab) en fonction de φ(a) et φ(b) ?

      Familiarise-toi déjà avec ce que tu manipules avant de vouloir tomber sur des trucs par hasard.

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        23 juin 2022 à 10:48:05

        Bonjour,

        Pour ta première question il faut que a > 0 et n > 1.

        Pour la seconde question phi(ab) = phi(a)*phi(b)

        Je crois que c'est ça.

        J'ai établi cette conjecture en remarquant que phi(a)+1 est congru à 3 modulo 4 quand phi(a)+1 est premier. 

        Ensuite j'ai essayé de généraliser le problème pour n multiple de 4.

        Je vais essayer de faire un programme pour voir s'il n'y aurait pas un contre-exemple.

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        Jeu du carré rouge modifié, quel niveau atteindrez-vous ? http://squared.go.yj.fr

          23 juin 2022 à 11:52:08

          Craw a écrit:

          [...]

          Pour la seconde question phi(ab) = phi(a)*phi(b)

          [...]

          Non, il faut commencer à apprendre un peu les objets que tu manipules.
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            23 juin 2022 à 11:53:26

            White Crow a écrit:

            Craw a écrit:

            [...]

            Pour la seconde question phi(ab) = phi(a)*phi(b)

            [...]

            Non, il faut commencer à apprendre un peu les objets que tu manipules.


            Pour a et b premiers entre eux.
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            Jeu du carré rouge modifié, quel niveau atteindrez-vous ? http://squared.go.yj.fr

              23 juin 2022 à 13:02:00

              Si tu notes p=pgcd(a,b) alors φ(ab)=φ(a)φ(b)p/φ(p)

              C'est une relation un peu plus générale. 

              Apprends un peu les objets que tu manipules avant de trop les manipuler. Comprendre ces objets te permettra de mieux les manipuler sans partir dans toutes les directions.

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                23 juin 2022 à 13:12:58

                En réalité je fonctionne beaucoup à l'observation, je n'ai que très peu de bases solides. Une fois que j'ai l'impression qu'une formule marche j'essaye de la comprendre et de comprendre les bases qu'il y a derrière. Peut-être que je fonctionne à l'envers du "processus normal".

                Pour cette formule ci cela semble plus compliqué que pour les autres.

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                Jeu du carré rouge modifié, quel niveau atteindrez-vous ? http://squared.go.yj.fr

                  23 juin 2022 à 15:55:26

                  Mais elle permet de déduire que si p=1 alors φ(ab)=φ(a)φb) qui est un cas particulier.

                  Mais elle permet aussi de déduire des expressions simples pour φ(2a) ou φ(aⁿ) par exemple.

                  C'est aussi ça comprendre les bases.

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                  Indicatrice d'Euler et divisibilité

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