Bonjour !
voilà mon problème :
Soit <math>\(f(x)=x^\alpha -\alpha*x\)</math>
<math>\(avec Df=]0;+\infty[\)</math> et <math>\(\alpha\in]0;1[\)</math>
Après étude il s'est avéré que c'est une fonction décroissante et négative !

Il faudrait démonter que <math>\(\forall(a;b)\in(]0;+\infty[)^2\)</math><math>\(\forall(\alpha;\beta)\in(]0;+\infty[)^2\)</math> avec <math>\(\alpha +\beta =1\)</math>

<math>\(a^\alpha *b^\beta \leq \alpha*a +\beta*b\)</math>

Moi j'ai procédé ainsi :
puisque f(x) est négative sur R*+,(1) <math>\(a^\alpha \leq \alpha *a\)</math> et (2) <math>\(b^\beta \leq \beta*b\)</math>
(puisque <math>\(\alpha +\beta =1\)</math> ,<math>\((\alpha;\beta)\in(]0;1[)^2\)</math>
Ici je me bloque j'essaie (1)+(2) puis (1)*(2) mais rien j'ai essayé d'introduire ln ou exp mais j'aboutis pas à grand chose !

Je ne voudrais surtout pas la réponse, mais des indices ou des pistes !
Merci beaucoup !

Pour <math>\(\alpha=\frac{1}{2}\)</math>, on a : <math>\(f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{4} > 0\)</math>. Donc ta fonction f n'est pas négative sur <math>\(\mathbb{R}_+^*}\)</math>. Tu as dû faire une erreur lors de l'étude de ta fonction.

Bonjour,
Vous dites f(x) est une fonction décroissante sur ]0,+inf[;
Etes vous sur de l'expression de f?
car manifestement la fonction que vous donnez a une dérivée nulle en x = 1 et passe par un maximum
Elle s'annule en 0 et en x = (alpha)^(1-alpha)
Elle est positive entre 0 et cette valeur , négative au delà.

...et je pense que pour que la démonstration aboutissee , il faut effectivement que f soit constamment décroissante sur l'intervalle d'études.
Donc petit problème semble-t-il sur f ou sur les domaines de définitions?

En utilisant la convexité de l'exponentielle, je crois que ça marche

Edit:
<math>\(\forall(a,b)\in(\mathbb{R}_+^*)^2\ \exists (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ tel\ que\ e^x = a\ et\ e^y = b\)</math>
Convexité de l'exponentielle :
<math>\(\forall(x,y)\in \mathbb{R}^2\ \forall \alpha \in [0;1] \ \exp(\alpha x + (1-\alpha) y)\leq\alpha\exp x + (1-\alpha)\exp y\)</math>
Il suffit de remplacer

Le passage à l'exponentielle résoud en effet immédiatement l'inégalité mais cela me trouble car on n'utilise pas la fonction f ( dont les propriéts annoncées ne sont pas vraies ce qui m'a laissé supposé une erreur sur son expression)

Or je suppose que si on parle de f c'est qu'on devrait en avoir besoin pour la preuve?

Celle m'interpelle d'autant plus qu'il il existe un problème moins simple où la preuve d'une inégalité un peu differente dans la position des exposants necessite une fonction de type f toujours décroissante ( troublant que cela soit une conclusion de l'énoncé alors que là c'est faux!)
Ce probléme par exemple est introductif à la peuve de l'inégalité de Minkowski mais ce préliminaire est abordable en terminale S à mon avis
est que l'auteur peut préciser si on doit utiliser f pour la preuve et s'il est sûr de ses expressions
Sinon, ...la logique du problème m'échappe

Salut et merci infiniment pour vos réponses .
Effectivement j'ai commis une erreur lors de l'étude de la fonction .
En effet, elle est croissante sur ]0;1] et décroissante sur [1;+inf[

Citation : nabucos

Elle s'annule en 0 et en x = (alpha)^(1-alpha)

En-es tu sur ?
je crois qu'elle s'annule en alpha^(1/alpha-1) et 0 biensur !

Citation : henri27

En utilisant la convexité de l'exponentielle, je crois que ça marche

Je suis en terminal, suis-je sensé connaitre ça ?!
Donc, y aurait-il une erreur dans l'exercice ?

Je sais plus mais en utilisant ta fonction il suffit d'utiliser le maximum.
Avec les conditions sur les variables :
<math>\(a^\alpha b^\beta = a^\alpha b^{1-\alpha} = b\left (\frac{a}{b} \right )^\alpha\)</math>
On traduit le maximum en 1 avec <math>\(x = \frac{a}{b} \in \mathbb{R}_+^*\)</math>:
<math>\(\left(\frac{a}{b} \right )^\alpha - \alpha\frac{a}{b} \leq 1 - \alpha\)</math>
Et là t'as gagné en multipliant par b

à rochdi

il y a peut ^peut être un oubli de fraction dans mon calcul sur f

Mais , par simple curiosité, j'aimerais savoir si le problème de f(x) et celui de l'inégalité sont ou non liés .
Au niveau de la présentation de l'énoncé , on pourrait penser que oui , alors que f ne sert à rien pour cette inégalité.

ben si, je viens de le faire. je me suis basé sur vos conclusions, en particulier le maximum en 1

edit: attention, la fonction n'est pas définie en 0

Salut !

Citation : henri27

On traduit le maximum en 1 avec <math>\(x = \frac{a}{b} \in \mathbb{R}_+^*:\)</math>

Je n'ai pas très bien compris ceci, pourrais-tu m'éclairer un peu plus ?

Merci !

Tu as montré que la fonction <math>\(f\)</math> admettait un maximum en 1.
Donc <math>\(\forall x > 0 f(x) \leq f(1) = 1-\alpha\)</math>
En particulier pour <math>\(x = \frac{a}{b} > 0\)</math> on a <math>\(\left(\frac{a}{b}\right)^\alpha-\alpha \frac{a}{b} \leq 1 - \alpha = \beta\)</math>
Je multiplie par <math>\(b >0\)</math> et je regroupe
<math>\(a^\alpha b^\beta = b\left(\frac{a}{b}\right)^\alpha\leq\alpha a + \beta b\)</math>

Ah je vois !
je crois que c'est résolu !
Un grand merci à tous !