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Inégalité portant sur trois nombres positifs

avec des connaissances aussi simples que possible

    10 décembre 2010 à 19:43:51

    Bonjour,


    Je reprends l'exercice proposé par elionor dans un fil séparé :


    Citation : elionor

    Puisque personne jusqu'à présent n'as résolues l'exos précédant je propose un exos plus simple :

    Une inégalité


    Soit <math>\(\{ a,b,c\} \in \mathbb{R}^3_+\)</math> démontrez que :
    Si <math>\(abc=1\)</math> alors <math>\(a+b+c \ge 3\)</math>




    Une solution a été proposée par Caduchon utilisant l'inégalité arithmético-géométrique.


    Il serait souhaitable de donner une autre solution directe et abordable par le plus grand nombre et sans connaissances préalables, quitte à ce que la solution soit moins élégante.
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      10 décembre 2010 à 21:36:27

      Comme leur produit vaut 1, <math>\(\exists x, y, z\in\mathbb{R}^+_0\)</math> tels que <math>\(a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x}\)</math>
      L'inégalité peut alors être réécrite comme suit
      <math>\(x^2z + y^2x + yz^2 \geq 3xyz\)</math>
      Sans perte de généralité, supposons que <math>\(x \geq y \geq z\)</math>, on peut alors prouver que
      <math>\(x^2z + y^2x + z^2y \geq xyz + y^2x + z^2x\)</math>
      En effet, c'est équivalent à dire que
      <math>\(z(x - z)(x - y) \geq 0\)</math>
      Ce qui est évident car <math>\(x \geq y \geq z \geq 0\)</math>

      Ensuite, on peut montrer que
      <math>\(xyz + y^2x + z^2x \geq 3xyz\)</math>
      En effet, c'est équivalent à dire que
      <math>\(x(y - z)^2 \geq 0\)</math>
      Qui est à nouveau évident.
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        10 décembre 2010 à 22:08:59

        Ça semble marcher, quand même assez tordu, non ? Par contre, j'ai trouvé très intéressant le changement de variables que tu effectues, il a l'avantage de laisser l'expression 3-homogène, je sens qui a un truc à exploiter de ce côté-là ;)



        Any other taker?
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          10 décembre 2010 à 23:53:16

          Bon, j'ai une démo pas mal, qui permettra de généraliser le résultat au rang n.

          Comme <math>\(abc = 1\)</math> on peut dire que <math>\((a,b,c)\)</math> tous non nuls

          ln étant une application concave (dérivée seconde négative pour tout x dans ]0,+infini])
          On a : <math>\(ln((a+b+c)/3)\)</math><math>\(\geq\)</math><math>\((1/3)(ln(a)+ln(b)+ln(c))\)</math>

          (propriété des fonctions concaves (arcs en dessous des tangentes))

          <math>\(\Rightarrow\)</math><math>\(ln((a+b+c)/3)\)</math><math>\(\geq\)</math><math>\((1/3)(ln(abc)) = 0\)</math> d'après l'hypothèse, abc = 1

          <math>\(\Rightarrow\)</math><math>\((a+b+c)/3)\)</math><math>\(\geq\)</math><math>\(e^0 = 1\)</math>

          <math>\(\Rightarrow\)</math><math>\((a+b+c)\)</math><math>\(\geq\)</math><math>\(3\)</math>


          En généralisant : Soient n réels positifs tous non nuls tels que <math>\(n_{1}n_{2}...n_{n} = 1\)</math>
          alors en utilisant la même démonstration, <math>\(n_{1} + n_{2} + ... + n_{n}\)</math><math>\(\geq\)</math><math>\(n\)</math>


          Bon, je pense que les propriétés des fonctions concaves ne sont pas trop connues en terminale, mais ça ne dépasse pas le niveau de Sup en tout cas.
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            11 décembre 2010 à 0:13:59

            @LordOfShadows: Tu redémontres l'inégalité des moyennes, ce qu'on cherche à ne pas utiliser ...
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              11 décembre 2010 à 0:17:33

              Citation : Freedom

              ce qu'on cherche à ne pas utiliser ...



              Ah, je me disais aussi, ^^ veuillez pardonner ma précipitation.
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                11 décembre 2010 à 15:46:54

                Citation : candide

                Ça semble marcher, quand même assez tordu, non ? Par contre, j'ai trouvé très intéressant le changement de variables que tu effectues, il a l'avantage de laisser l'expression 3-homogène, je sens qui a un truc à exploiter de ce côté-là ;)



                Le changement de variable est bien souvent LA solution aux problèmes d'inégalités.
                Et souvent la difficulté est de trouver le bon changement de variable.
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                  11 décembre 2010 à 21:04:54

                  Voici une preuve élémentaire et relativement naturelle :

                  On a <math>\(c=1/ab\)</math> donc <math>\(a+b+c\geq 3\)</math> se ré-écrit <math>\(a^2b+ab^2-3ab+1 \geq 0\)</math>. Or

                  <math>\(a^2b+ab^2-3ab+1=b(a-1)^2+a(b-1)^2+(a-1)(b-1)\)</math>.


                  a et b sont positifs et donc si <math>\((a-1)(b-1) \geq 0\)</math>, c'est gagné.

                  En fait on peut toujours se ramener à ce cas car parmi les trois éléments a, b et c, il en existe nécessairement deux qui sont

                  *) ou bien tous les deux supérieurs ou égaux à 1,
                  *) ou bien tous les deux inférieurs ou égaux à 1.

                  Si on les appelle a et b on aura <math>\((a-1)(b-1)\geq 0\)</math>.
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                    11 décembre 2010 à 21:13:07

                    Citation : candide

                    Voici une preuve élémentaire et relativement naturelle :

                    On a <math>\(c=1/ab\)</math> donc <math>\(a+b+c\geq 3\)</math> se ré-écrit <math>\(a^2b+ab^2-3ab+1 \geq 0\)</math>. Or

                    <math>\(a^2b+ab^2-3ab+1=b(a-1)^2+a(b-1)^2+(a-1)(b-1)\)</math>.



                    a et b sont positifs et donc si <math>\((a-1)(b-1) \geq 0\)</math>, c'est gagné.

                    En fait on peut toujours se ramener à ce cas car parmi les trois éléments a, b et c, il en existe nécessairement deux qui sont

                    *) ou bien tous les deux supérieurs ou égaux à 1,
                    *) ou bien tous les deux inférieurs ou égaux à 1.

                    Si on les appelle a et b on aura <math>\((a-1)(b-1)\geq 0\)</math>.


                    Pour moi c'est correct.
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                      11 décembre 2010 à 21:14:58

                      Non rien.

                      EDIT: Non rien je dis de la merde.
                      J'ai le droit non ?
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                        11 décembre 2010 à 21:15:06

                        La décomposition est bien vue !


                        @Dark-Side: quel est le problème ? o_O
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