Cette vidéo est bien connue. Oublie-la. Oubie tout ça. Si un jour, tu deviens agrégé en maths, ou d'un niveau similaire, tu pourras revenir sur cette vidéo.
Là, à cause de cette vidéo, tu viens d'écrire 10 lignes de grosses bétises.
Pour le coup, 1 est bien égal à 0.999... @PierrotLeFou (même si certains voudront chipoter en disant qu'il faut bien définir 0.999...). Concernant cette somme des entiers, un bon niveau de prépa devrait suffire pour bien comprendre la vidéo (mais c'est pas beaucoup moins haut qu'un petit niveau agreg).
Et un autre truc qui est assez drôle et qui montre les « bizarreries » qu'on peut avoir en manipulant des séries, c'est le théorème de réarrangement de Riemann, un beau résultat sur les séries semi-convergentes.
Ce n'est pas exactement le cas. Avant de pouvoir parler du résultat d'une somme infinie, il faut définir ce qu'appelle résultat de la somme infinie. Généralement, on la définit comme la limite (si elle existe) de la suite des sommes partielles. Mais on pourrait par exemple prendre comme définition celle des sommes de Cesàro (et avec cette définition, la série 1 - 1 + 1 ... a bien pour limite 1/2).
Si la définition de l'addition nous permet de sommer un nombre fini de termes, pour un nombre infini de termes ce n'est pas le cas et il nous faut définir une méthode de sommation (je viens d'en donner deux plus haut). Ce qu'a écrit @PierrotLeFou dans son dernier message n'est pas licite pour ces raisons ; la méthode de sommation choisie doit pouvoir s'appliquer et doit autoriser les opérations écrites dans son message. Par exemple, l'addition est commutative, mais dans le cas d'une série semi-convergente et avec la méthode de sommation qu'on prend usuellement (limite des sommes partielles), utiliser la commutativité de l'addition peut changer la somme.
Attention que 0,999.... est une notation qui signifie \( \sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} \) qui est elle même une notation pour \( \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k} \) à condition que cette limite existe. Il se trouve que cette limite existe et peut être calculée : elle vaut 1. C'est dans ce sens précis qu'on écrit 0,999... = 1. La démonstration de Tiffado, par exemple, est vraie parce que si on remplace la notation abrégée par une notation rigoureuse, ça marche. Mais il vaudrait mieux justifier toutes les opérations du genre 0,999 x 10 = 9,999 : ça se justifie en revenant aux séries.
Le problème avec l'explication de micmath c'est qu'elle est fausse pour les raisons évoquées plus haut (définition d'une somation infini, implication que 0=1.)
Après, ce résultat vient de la fonction zêta. En gros, en -1 elle est censée indiquer la valeur de 1+2+3... Sauf qu'elle n'est pas définie en -1 😝on peut essayer de prolonger cette fonction, et on obtient -1/12.
C'est donc faux de dire que 1+2+3...=-1/12
Seulement ça a été utilisé en physique et ça a marché avec -1/12. On peut donc dire que cette somme à un rapport mystérieux avec -1/12, mais pas qu'elle vaut -1/12.
Pour la question infini fois zéro ça fait combien:
De manière commune infini n'est pas un nombre, donc ce n'est pas defini.
Après on peut l'interpréter comme la limite du produit d'une fonction qui a pour limite zéro et d'une autre qui a pour limite l'infini. Dans ce cas il faut prendre au cas par cas.
Sinon il me semble que dans la théorie de la mesure, qui permet de mesurer des aires, des longueurs, de faire des probabilités, on définie que 0*infini = 0.
J'espère que tu as compris que ma pseudo-démonstration que 1 = 0 était une blague ...
oui tkt (-;
Infini = 0.0833333333...?
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Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
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