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Intégrales

    26 avril 2021 à 23:08:19

    Bonjour, j'ai un dm mais je n'y arrive pas. Pourriez-vous m'aider ? Merci.

    Soit de classe Csur ] − 11[ et croissante. A l’aide d’une IPP (=Intégration par partie), montrer que :

    intégrale allant de -1 à 1  :   ∫ [ x*f(x) ] / [ √(1+x^2) ] >= 0

    -
    Edité par LilililiMimimimi 27 avril 2021 à 12:09:32

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      27 avril 2021 à 9:59:05

      Bonjour ! Pour la première, tu dois choisir qui est u et qui est v' (ou qui est u' et qui est v).

      On sait que f est croissante, c'est donc f qu'on va dériver : f' est positif.

      Donc c'est \( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) qu'il faut primitiver. C'est un truc de la forme \( \dfrac{u'}{\sqrt{u}} \) (avec d'autres u), donc c'est faisable.

      Je ne sais pas si à partir de là on arrivera à démontrer que c'est positif, mais je serais surpris (vu que c'est un exercice) que ça n'aboutisse pas.

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      Edité par robun 27 avril 2021 à 10:33:45

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        27 avril 2021 à 16:09:15

        J'ai calculé l'intégrale de x/√1+x^2 j'ai alors trouvé qu'elle était égale à 0.

        Puis j'ai dit que l'intégrale de f(x) est >= 0 puisque f'(x) >= 0 et que l'intégrale de x/√1+x^2 = 0. Alors l' intégrale allant de -1 à 1  :   ∫ [ x*f(x) ] / [ √(1+x^2) ] >= 0.

        Est-ce que cette justification est bonne ? Merci.

        -
        Edité par LilililiMimimimi 27 avril 2021 à 16:46:30

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          27 avril 2021 à 17:16:17

          Ton raisonnement est faux.

          1) On te donne une intégrale de la forme \( \int u(x)v(x) \, dx \) et tu la sépares en deux : \( \int u(x) \, dx \) et \( \int v(x) \, dx \). Tu dis que l'une est nulle, l'autre est >=0, donc l'intégrale de départ est >=0. Comme si \( \int u(x)v(x) \, dx = \int u(x) \, dx \int v(x) \, dx \) ! C'est horrible d'imaginer un truc pareil !

          2) De plus tu dis que, parce que f'(x) >=0, alors f(x) >= 0. Là encore c'est horrible de dire ça !

          Il me semble que ce que tu dois faire, c'est remplacer l'intégrale de départ par une autre intégrale, grâce à l'intégration par parties, dans laquelle apparaît f'(x). Comme f' est positif, et que ce qui est à côté aussi est peut-être positif, on pourra conclure.

          (Je viens de faire le calcul d'intégrale par parties, ça ne donne rien d'immédiat. Ah...)

          -
          Edité par robun 27 avril 2021 à 17:36:50

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            27 avril 2021 à 18:40:13

            Je ne comprends pas vraiment, f(x) me perturbe.

            Il faut par exemple que je prenne u = xf(x)   u'=f'(x)   v=ln (x+ √(x^2+1) et v' = 1/(√1+x^2) ?

            Et ensuite que je fasse l'IPP comme d'habitude ?

            -
            Edité par LilililiMimimimi 27 avril 2021 à 18:47:04

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              27 avril 2021 à 19:19:39

              Aaaarrrggghhh !!!!!

              Désolé, mais tu me donnes des montées d'angoisse... ;)

              LilililiMimimimi a écrit:

              Il faut par exemple que je prenne u = xf(x)   u'=f'(x) 

              Mais, si u = xf(x), u' ne peut pas être égal à f'(x) !!!!!!!

              Ou alors tu crois que (uv)' = u' v' ?????????

              Je proposais de choisir u(x) = f(x) et v'(x) = tout le reste, pour les raisons que j'avais expliquées plus haut.

              Tu disais que ces exercices sont des exercices d'approfondissement. Je pense que tu n'es pas prêt pour les faire. Là, il va nous falloir des heures et des heures d'explication. Je pense que ce serait plus constructif de consolider la notion d'intégrale en révisant les exercices de base.

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                27 avril 2021 à 20:06:24

                Ahhh non j'avais mal lu, désolée je suis malade, j'ai beaucoup de mal à réfléchir :/ 

                Non celui-ci n'est pas un exercice d'approfondissement. :)

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                  27 avril 2021 à 21:22:22

                  Tu as trouvé quoi en faisant l'intégration par parties avec \( u(x) = f(x) \) et \( v'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) ?

                  Ce que je trouve ne permet pas de conclure immédiatement. Pour aboutir, j'ai dû ensuite majorer \( \sqrt{1+x^2} \) entre -1 et 1. Je m'attendais à plus simple, peut-être que quelque chose m'a échappé.

                  Quand tu auras trouvé l'intégration par parties, il y aura une nouvelle inégalité à démontrer. Il faudra alors majorer \( \sqrt{1+x^2} \) et exploiter le lien entre intégration et dérivation. Et ne pas oublier d'utiliser l'hypothèse f'(x) >= 0 à un endroit précis des calculs...

                  -
                  Edité par robun 27 avril 2021 à 22:52:39

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                    27 avril 2021 à 21:51:48

                    Je pense que j'ai un problème parce que je fais l'IPP une première fois tout fonctionne puis lors de la deuxième je retombe sur la même intégration que celle de départ :(

                    Toutes les personnes de mon groupe sont aussi perdues, on n'a jamais vu ça avant :/

                    -
                    Edité par LilililiMimimimi 27 avril 2021 à 21:53:15

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                      27 avril 2021 à 22:16:08

                      Quelle deuxième ? Il ne faut en faire qu'une ! (Si tu ré-intègres par partie en reprenant les mêmes fonctions, tu vas forcément revenir en arrière.)

                      Et donc tu as trouvé quoi après la première ?

                      -
                      Edité par robun 27 avril 2021 à 22:16:34

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                        27 avril 2021 à 22:22:18

                        [f(x)√1+x^2] -  ∫√1+x^2 * f'(x) = √2 (f(1)-f(-1)) -  ∫√1+x^2 * f'(x)

                        C'est comme ça que l'on a appris 

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                          27 avril 2021 à 22:52:05

                          Et c'est ce qu'il fallait faire !

                          Donc il faut démontrer quoi ? Il faut démontrer que :

                          \[ \sqrt{2}\left(f(1) - f(-1)\right) - \int_{-1}^1 \sqrt{1+x^2}f'(x)\, dx \geq 0 \]

                          c'est-à-dire :

                          \[ \int_{-1}^1 \sqrt{1+x^2}f'(x)\, dx \leq \sqrt{2} \left(f(1) - f(-1)\right) \]

                          Je propose que tu essaies de majorer \(  \sqrt{1+x^2} \) entre -1 et 1.

                          -
                          Edité par robun 27 avril 2021 à 22:56:15

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                            27 avril 2021 à 22:56:40

                            D'accord, le membre à gauche de la soustraction est positif puisque la fonction f est croissante. Pourriez-vous me donner des pistes pour le membre de droite, s'il vous plait ?
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                              27 avril 2021 à 22:59:36

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                              (J'ai tapé mon dernier message en plusieurs étapes parce que, quand j'écris des formules en LaTeX, je préfère ne pas tout faire d'un coup au cas où il y aurait une erreur. L'indication est à la fin de mon dernier message.)

                              L'idée, c'est que pour démontrer une inégalité avec une intégrale, il n'est pas toujours nécessaire de calculer exactement l'intégrale. Ici, on veut majorer \( \int_{-1}^1 \sqrt{1+x^2} f'(x) \, dx \), mais on ne peut pas calculer cette intégrale puisqu'on ne connaît pas f' ! Mais on essaie de majorer.

                              Imagine qu'on ait montré que \( \sqrt{1+x^2} \leq A \) . On peut alors écrire :

                              \[ \int_{-1}^1 \sqrt{1+x^2} f'(x) \, dx \leq \int_{-1}^1 A f'(x) \, dx  \leq A \int_{-1}^1 f'(x) \, dx \]

                              et là on y est presque, surtout quand on a trouvé que A vaut racine de 2 (mais j'en ai trop dit...)

                              -
                              Edité par robun 27 avril 2021 à 23:09:00

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                                27 avril 2021 à 23:08:02

                                Je ne vois pas ce qui est écrit après "on peut alors écrire:" :)

                                Ah c'est bon je le vois maintenant 

                                -
                                Edité par LilililiMimimimi 27 avril 2021 à 23:10:33

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                                  27 avril 2021 à 23:10:41

                                  Oui, j'ai encore eu du mal avec le LaTeX (j'ai voulu faire un copier-coller mais ça ne marche pas...)

                                  Satané éditeur !

                                  Bref, ce genre de majoration est plutôt évident quand on a l'habitude, mais je n'oserais pas prétendre que tu aurais dû y penser...

                                  -
                                  Edité par robun 27 avril 2021 à 23:12:59

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                                    27 avril 2021 à 23:15:35

                                    Merci beaucoup pour votre aide et surtout pour votre patience ahah :)
                                    • Partager sur Facebook
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                                      27 avril 2021 à 23:20:02

                                      Tu as fini par aller au bout ? Si oui, n'oublie pas les justifications. (Par exemple pour faire une intégration par parties les fonctions doivent être de classe machin-truc, etc. Comme il y a plusieurs étapes, il y en a pas mal à ne pas oublier.)
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                                        27 avril 2021 à 23:24:28

                                        Oui je suis allée au bout, j'ai rédigé en même temps. Merci. :)
                                        • Partager sur Facebook
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                                          27 avril 2021 à 23:26:53

                                          Super ! Tu m'avais fait peur au début, mais en fait c'est juste que l'exercice était quand même assez difficile...
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