Salut,

Je bloque sur l'exercice suivant :

On considère les fonctions f et F définies sur ]0;+infini[ par :

<math>\(f(x) = \frac{ln(x)}{x^2+1}\)</math> et <math>\(F(x) = \int_1^{x} f(t) dt\)</math>

Démontrer que, pour tout réel x <math>\(\ge\)</math> 1, on a F(x) <1

(Aide : Etablir que, pour tout réel t <math>\(\ge\)</math> 1, on a <math>\(f(t) \le \frac{ln(t)}{t^2}\)</math>)

Je ne comprend pas l'utilisation des x et t et je ne sait pas comment m'y prendre. Merci de votre aide ...

Soit <math>\(x\geq1\)</math>.
Pour <math>\(t\in[1,x], 0 \leq f(t) \leq \frac{\ln(t)}{t^2}\)</math>, on peut donc appliquer le théorème de comparaison des intégrales (il est important que tout soit positif). Alors <math>\(\int_1^x f(t)dt \leq \int_1^x \frac{\ln(t)}{t^2}dt = \dots = 1-\frac{1+\ln(x)}{x} < 1\)</math>. Il faut faire dans les ... une intégration par parties que je te laisse le soin de trouver!
Attention à bien montrer l'inégalité stricte à la fin.