Bonsoir, 

Comment montrer la propriété suivante : 

\( g o f \ inversible \ implique \ f \ inversible \ ?  \)

Bonne soirée. 

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Edité par kiobiu 7 janvier 2020 à 18:47:14

Salut,

L'absurde ou la contraposée marche plutôt bien. Si f est non inversible, il y a deux éléments x et y qui ont même image (on va supposer qu'on a restreint l'espace d'arrivée à l'image de f) et donc gof(x) et gof(y) ont même valeur d'où gof n'est pas inversible.

Oui, car j'ai supposé qu'on a restreint l'espace d'arrivée de f à son image. Si f est injective, alors pour tout y de son image, il existe un unique x tel que f(x) = y, et donc en posant g(y) = x, on réussit à définir une fonction g qui est bien l'inverse de f. Donc f injective implique f (avec espace d'arrivée restreint à son image) inversible, donc par contraposée, f non inversible implique f non injective.

On va prendre un exemple, f de {0, 1} dans N avec f(0) = 1 et f(1) = 2. Si on restreint l'espace d'arrivée, on arrive à la fonction g de {1, 2} dans {0, 1} avec g(1) = 0 et g(2) = 1 qui est bien l'inverse de f. Par contre, on ne trouvera pas de fonction de N dans {0, 1} qui sera l'inverse de f (en particulier, si tu prends une fonction de N dans {0, 1}, alors 0 ou 1 est forcément l'image d'une infinité de nombres).