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isometries et points invariants

23 novembre 2018 à 21:14:09

Bonsoir tout le monde, 

On me demande de montrer qu'une isometrie n'admet pas de points invariants on a f(A)=A' et f(B)=B' et f(C)=C'

On raisonne par l absurde, f admet de points invariants alors f est l idp ou f est une rotation ou f est une symétrie orthogonale 

Or est évidemment differente de idp 

Si f est une symetrie orthogonale d axe delta 

Delta= med[AA'] = med[BB'] ce qui sera absurde dans notre cas. 

Si f est une rotation de centre k alors 

Med[AA'] ,med[BB'] et med[CC'] seront concourantes en k 

Mais j ai deux problèmes 

- si on a que deux points , on ne pourra pas demontrer que ce n'est pas une rotation .

-je suis sûre que les professeurs exigent une autre methode plus courte . 

Merci d'avance pour votre aide ! :) 

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24 novembre 2018 à 5:44:46

Bonjour !

Si j'ai bien compris, on donne six points (non quelconques) A, B, C et A', B', C' tels que AB = A'B' = etc., on appelle f l'isométrie telle que A', B', C' soient les images de A, B, C, et on demande de démontrer que cette isométrie là n'admet pas de point invariant. C'est bien ça ?

Si oui, je ne comprends pas pourquoi tu t'inquiètes du fait que, si on n'a que deux points, on ne pourra pas démontrer que ce n'est pas une rotation. On s'en fiche, on a trois points !

Du coup j'ai l'impression de ne pas avoir compris. Peut-être devrais-tu expliquer pourquoi tu as besoin de faire la démonstration avec deux points.

(Autre chose : normalement, les profs exigent juste que ta démonstration soit correcte et justifiée. Ou alors il faut spécifier explicitement si l'exigence est plus forte, genre « démontrer sans le moindre calcul que... ».)

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24 novembre 2018 à 14:40:40

Bonjour merci pour ta réponse :) 

On m'a demandé dans un autre exercice de montrer qu une isometrie n admet pas de points invariants juste en donnant l image de deux points ! Je suis sûre qu'il y a une astuce lol merci en tout cas demain je vérifierai avec mon prof.

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24 novembre 2018 à 16:29:50

Dans l'autre exercice, on t'a donné 2 points, avec leurs coordonnées, et les coordonnées de leurs images. Du coup, avec certains calculs, tu as réussi à démontrer que cette isométrie n'avait pas de points invariants.  Ok. 

Mais l'exercice que tu nous proposes, avec 3 points A B C et A' B' C' ... c'est un autre exercice. Un exercice très flou d'ailleurs. On ne sait pas si on est en dimension 2, ou 3... Avec l'énoncé que tu nous proposes, la démonstration est impossible. Il faut déjà ajouter quelques conditions. Si par exemple A = A', alors on a au moins un point invariant.  Or dans l'énoncé, rien ne dit que A et A' sont différents !

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25 novembre 2018 à 4:15:40

Effectivement, on doit savoir si les six points ont été donnés explicitement ou bien s'ils sont quelconques. J'avais supposé qu'ils étaient donnés explicitement, c'est d'ailleurs pour ça que j'avais demandé confirmation (« c'est bien ça ? »), mais Rachm123 n'a pas répondu et préfère sans doute qu'on devine. Ben moi je suis nul en devinnettes.

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26 novembre 2018 à 17:55:30

robun a écrit:

Effectivement, on doit savoir si les six points ont été donnés explicitement ou bien s'ils sont quelconques. J'avais supposé qu'ils étaient donnés explicitement, c'est d'ailleurs pour ça que j'avais demandé confirmation (« c'est bien ça ? »), mais Rachm123 n'a pas répondu et préfère sans doute qu'on devine. Ben moi je suis nul en devinnettes.


la demande n'est pas d'une grande clarté et l'énoncé probablement incomplet.
Ceci dit, les six points ABC et A'B'C' ne sont pas tout à fait quelconques puisque les triangles ABC et A'B'C' sont nécessairement  égaux, isométrie oblige.
Isométrie faisant passer de ABC à A'B'C' sans point fixe, telle semble être la question? :o
Sans autre précision, impossible de répondre point fixe ou pas  mais si on veut jouer aux devinettes :magicien:  tout est, à mon avis,  une question d'orientation dans le plan.
On sait que les isométries de type déplacement conservent l'orientation des angles et les anti-déplacements non. Donc à mon avis , il suffirait de savoir si, dans le plan orienté,  on parcourt A --> B -->C et A' --> B' --> C'--> dans le même sens pour pouvoir répondre.

1- Si l'orientation est la même, il existe en général   une rotation qui fait passer de ABC à A'B'C',  avec un point fixe, sauf position particulière, des triangles ( translation par exemple)

2-Si les orientations sont inverses,   il faut composer   une symétrie axiale  et une rotation et il n'y aura pas de point fixe en général, sauf cas particulier où l'axe de symétrie passe par le centre de rotation ou si les triangles sont au départ symétriques par rapport à un axe.

Rachm123 a écrit:

 -je suis sûre que les professeurs exigent une autre methode plus courte . 

ll suffirait  donc, d’après  ce qui précède de regarder l'orientation des  triangles  ... c'est peut-être cela la méthode courte :lol:

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Edité par Sennacherib 27 novembre 2018 à 12:07:25

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
26 juin 2019 à 23:36:49

Déterminer toutes les isométries du plan qui laissent invariant l'ensemble F  des pois de coordonnées (n , 0 )dans un repère orthonormé

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27 juin 2019 à 0:12:26

Oui bien sûr, et monsieur désire un café avec ça ?

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Tutoriel Ruby - Bon tutoriel C - Tutoriel SDL 2 - Python avancé - Faîtes un zeste, devenez des zesteurs
Staff 27 juin 2019 à 16:28:44

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