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L'hypothèse de Riemann

Fonction zeta

Anonyme
7 février 2015 à 13:14:02

Bonjour,

Je m'intéressais aux nombres premiers, je suis alors tomber sur de nombreux sujets qui pour la plupart parlaient de leurs répartitions, j'ai trouvé cela extrêmement intéressant. Je suis tombé sur de nombreux n'ayant pas de solutions à leurs sujets. Comme par exemple, la conjecture de Goldbach. Je suis alors tombé à force de recherche sur l'hypothèse de Riemann. Je suis donc sur ce forum afin de témoigner de mon incompréhension face à cette conjecture/hypothèse.

La conjecture de Riemann.
 Ce que nous savons c'est que la fonction zeta a pour but de donner la répartition des nombres premiers. Mais pourquoi elle nous les donnerais que si on lui passe en argument un nombre complexe avec comme partie réelle 1/2 ? De plus qu'est ce qu'un zéro non trivial ? Pour qu'elle raison des zéros apparaitrai sur cette droite ? 

Merci d'avance.

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7 février 2015 à 16:09:01

Hello, C'est un peu plus compliqué que ça : la fonction Zêta de Riemann est une fonction définie sur l'ensemble des complexes (du moins on peut la prolonger analytiquement). On peut prouver "facilement" que tous les nombres -2, -4, -6, ..., -2n, ... sont des zéros de cette fonction, ce sont les zéros triviaux. Ensuite, on a remarqué empiriquement (= pas démontré) que quand on a un nombre z tel que \(\zeta(z) = 0 \) et que ce n'est pas un des zéros triviaux, alors forcément \(Re(z) = \frac 12\) (EDIT : Re(z) et pas Im(z), mea culpa). On l'a remarqué, mais on l'a pas démontré. Je crois qu'on a réussi à prouver que c'est le cas pour au moins 99% des zéros non triviaux, mais ce qu'on veut, c'est prouver que ça l'est pour 100% des cas. Et c'est ça qui énerve tout le monde, personne ne sait pourquoi les zéros non triviaux sont sur cette droite. ^^

Ensuite, on a également prouvé que si cette hypothèse est vraie, alors on peut dire plein de trucs sur les nombres premiers. Mais ce n'est pas le rôle premier de la fonction zêta !

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Edité par melepe 7 février 2015 à 19:21:23

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Anonyme
7 février 2015 à 16:58:30

Merci pour ta réponse ;) Mais alors les zéros triviaux sont les nombres pairs négatifs  ?

Mais alors z est un nombre impair qui pour zêta(z)=0 a In(z)=1/2 ? Donc z est obligatoirement impair afin que ce soit un zéro non trivial ?Aurais tu un exemple ? :) Ou encore un lien ;p car je n'ai pas trouver.

Pourquoi cela montrerais des trucs sur les nombres premiers ? :)

Quel est le rôle premier de la fonction zêta ?

Merci d'avance ?

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7 février 2015 à 17:08:04

Thinking a écrit:

Merci pour ta réponse ;) Mais alors les zéros triviaux sont les nombres pairs négatifs  ?

Oui

Thinking a écrit:

Mais alors z est un nombre impair qui pour zêta(z)=0 a In(z)=1/2 ? Donc z est obligatoirement impair afin que ce soit un zéro non trivial ?

La fonction \(\zeta\) n'est pas définie que pour les nombres entiers : elle est définie sur l'ensemble des nombres complexes.

Un zéro non trivial ne peut pas être un entier négatif pair, mais il n'est pas pour autant obligé d'être un entier impair : il peut très bien ne pas du tout être un entier (d'ailleurs, si \(\text{Im}(z)=\frac{1}{2}\neq0\), \(z\) n'est même pas un nombre réel :-°)

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Anonyme
7 février 2015 à 19:09:59

Merci ;p

Mais pourquoi si Im(z)!=0 alors ce n'est pas un nombre réel ?

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7 février 2015 à 19:17:49

Oups, erreur de ma part... D'après l'hypothèse de Riemann, les zéros non-triviaux ont pour partie réelle 1/2, et pas pour partie imaginaire. Je corrige mon premier message.

Comme le dit ckljhjgfihjkln (enfin ckrgjreohkdf... ckvhdlfgkl... truc :p ), les autres zéros ne sont jamais des entiers (puisque du coup leur partie réelle est de 1/2, mea culpa), et qu'ils ont tous une partie imaginaire. Tu peux trouver ici une liste des parties imaginaires des 100 premiers zéros non triviaux de la fonction, arrondies à la 1000^e décimale.

En ce qui concerne le rôle premier de la fonction zêta, d'après ce que je peux lire sur cet article de Wikipédia (et comme chacun sait Wikipédia a toujours raison), la fonction zêta a été définie par Euler, qui venait de calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}\^\infty \frac1{n\^2} \), et qui voulait généraliser le calcul. Le premier lien avec les nombres premier a été la formule \( \displaystyle \zeta(k) = \prod_{p\in P} \frac 1 {1-p\^{-k}} \), où P est l'ensemble des nombres premiers. On s'est ensuite rendu compte progressivement que Zêta était intrinsèquement liée à la théorie des nombres, et donc aux nombres premiers entre autres (cf cette autre page de Wikipédia).

Le théorème qui nous intéresse dans le cas présent, est celui de la répartition des nombres premiers. (Je change de sources, je passe à un article de mathworld.wolfram.com) En 1901, Koch (le monsieur qui a fait les flocons éponymes) prouve que si la conjecture de Riemann est vraie, alors on a \( |\pi (x) - \mbox{Li}(x)| \leq c \sqrt x \ln(x) \) (et réciproquement), où \(c\) est un nombre positif, \( \mbox{Li}(x) \) est une fonction qui s'appelle le logarithme intégral, et \( \pi(x) \) est le nombre de nombres premiers inférieurs à \(x\). Ainsi, si la conjecture de Riemann est vraie, alors on obtient une information supplémentaire sur le comportement de \(\pi(x)\), c'est à dire sur la répartition des nombres premiers, CQFD. :)

EDIT : Mh, en fait mon message risque d'être un peu ardu pour toi. Quel est ton niveau ? EDIT 2 : erreurs dans les formules

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Edité par melepe 10 février 2015 à 3:47:06

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Anonyme
8 février 2015 à 10:08:03

Merci beaucoup :)

Cela veut dire que par exemple pour :

zêta(

14.134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149 9634298092567649490103931715610127792029715487974367661426914698822545 8250536323944713778041338123720597054962195586586020055556672583601077 3700205410982661507542780517442591306254481978651072304938725629738321 5774203952157256748093321400349904680343462673144209203773854871413783 1735639699536542811307968053149168852906782082298049264338666734623320 0787587617920056048680543568014444246510655975686659032286865105448594 4432062407272703209427452221304874872092412385141835146054279015244783 3835425453344004487936806761697300819000731393854983736215013045167269 6838920039176285123212854220523969133425832275335164060169763527563758 9695376749203361272092599917304270756830879511844534891800863008264831 2516911271068291052375961797743181517071354531677549515382893784903647 4709727019948485532209253574357909226125247736595518016975233461213977 3160053541259267474557258778014726098308089786007125320875093959979666 60675378381214891908864977277554420656532052405) = 0

C'est cela ? et donc Re(cenombre)=1/2 ?

Je vais regarder un peu plus en détail la suite de ton message, et je te dirais si je ne comprends pas.

Merci d'avance.

Bonne journée.

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8 février 2015 à 10:20:17

Sais-tu ce qu'est un nombre complexe ? Je pense qu'avant de te lancer là dedans, tu devrais approfondir un peu les prérequis.



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Edité par quelqun_dautre 8 février 2015 à 10:23:59

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yjltg.
8 février 2015 à 12:30:37

Juste un petit aparté sur les termes mathématiques :
hypothèse : ce que l'on sait ; ce sont des informations que l'on sait ou que l'on sait nécessaires pour quelque chose ; "zeta est une fonction" est une hypothèse.
conjecture : ce que l'on dit vrai sans arriver à le démontrer ; c'est ce qu'on remarque empiriquement. Ca peut se révéler faux.
démonstration : c'est une vérité démontrée à partir d'hypothèses. C'est une succession d'étapes logiques qui conduisent à une nouveauté. Les résultats d'une démonstration peuvent être ajoutées aux hypothèses, à condition de s'assurer que toutes les hypothèses de la démonstration sont vérifiées.

Un petit exemple simple :
Hypothèses :
- La somme des angles d'un quadrilatère en géométrie euclidienne fait toujours 360°.
- Un rectangle possède 4 angles égaux en géométrie euclidienne.
- ABCD est un quadrilatère en géométrie euclidienne et possède 3 angles à 90°. 

Démonstration :
Soit ABCD un quadrilatère en géométrie euclidienne possédant 3 angles à 90°.
360 - 3*90 = 90
Donc le 4ème angle du quadrilatère ABCD fait 90°. Il est égal aux 3 autres. C'est donc un rectangle.

Une conjecture (pour le coup, elle peut être démontrée) :
\(1 = 1^2\)
\(1 + 3 = 4 = 2^2\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = 3^2\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2\)

Conjecture :
\(\forall n \in \mathbb{N} - \{0\},\sum_{i=1}^{n}(2 \times i - 1) = n^2\)

-
Edité par anolya 8 février 2015 à 12:35:07

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Anonyme
8 février 2015 à 21:01:20

Excusez moi j'ai dis n'importe quoi...

zêta serait egal à 0 pour s= 1/2 + 14.1 ...

On appelle tous les zéros qui ont pour parties réelle 1/2 leszéros non triviaux...

Mais en quoi la répartition de ces zéros permettrai de montrer des choses sur les nombres premiers ? :)

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9 février 2015 à 11:27:49

Thinking, il me semble que Melepe a donné une réponse qualitative intéressante et aller plus loin me semble hors de portée sans pré-requis mathématiques assez avancés.

Pour préciser un peu,   le résultat principal est d'affiner la fonction d'incertitude qui permet de dénombrer les premiers inférieurs à un nombre entier \(x\) donné. ( c'est à dire l'écart de \(\pi(x)\) à l'équivalent connu \(\mbox{Li}(x)\) lorsque \(n \rightarrow \infty\). Au delà de ce résultat de base, on obtiendrait alors sans doute d'autres  progrès sur la connaissance des nombres premiers ou des certitudes sur d'autres conjectures   démontrées ...sous réserve de la véracité de l'hypothèse de Riemann

. Au delà de cette preuve et de ces conséquences directes, l'intérêt de cet "acharnement" est qu'il développe des méthodes mathématiques nouvelles et parfois inattendues pour tenter d'aboutir, un peu comme les détours  qui furent nécessaires pour le théorème de Fermat-Wiles. 

On montre donc que la véracité de l'hypothèse de Riemann conduit au meilleur terme d'erreur possible dans l'estimation de \(\pi\), un des liens de Melepe montrant ce que devient ce terme si l'hypothèse n'est pas vraie . Car en fait, la non véracité n'enlève rien au rapport entre zêta et les nombres premiers, elle le distend en fait , pourrait on dire, en  rendant moins précis l'évaluation de l'écart à \(\mbox{Li}(x)\) . Car on sait malgré tout que les zéros non triviaux sont tous dans la bande dite critique \( ]0,1[\), qu'il y en a une infinité de partie réelle 1/2,  que ceux qui ne vérifierait pas sont symétriques par rapport à 1/2, etc...)

Et à la base , le lien découle de l'expression de la fonction \(\zeta(s)\) sous forme du produit d'Euler (tel que rappelé par  Melepe) , et qui fait intervenir tous les nombres premiers.

( remarque \(\rightarrow\) Melepe, je pense qu'il y a une erreur ( ..de frappe ) dans la formule d'Euler; écrite sous cette forme c'est \(p^{-k}\) et non \(p^k\) qui intervient au dénominateur ).

Après , pour comprendre complètement le pourquoi du lien entre ces zéros non triviaux et le dénombrement des premiers  , il faut quand même se plonger un peu dans les documents qui ont été donnés ( et peut être un peu plus, car en survolant les articles cités, on voit surtout des résultats sans preuve) . Et tout cela fait appel à des notions qui vont , en terme de pré-requis, beaucoup  plus loin que de simples connaissances élémentaires sur les nombres complexes: fonction analytique, prolongement analytique, intégration complexe, résidus etc...a minima) 

A noter qu'aucun des calculs de zéros triviaux , en nombre de plus en plus faramineux, n'ont infirmé   l'hypothèse à ce jour...à la précision des ordinateurs prés . Les mathématiciens restent quand même prudents, les nombres réservant des surprises imprévisibles :ainsi la conjecture dite de Mertens ( voir ce nom) aurait entraîné  celle de Riemann si elle était vraie : elle s'est avérée  fausse pour des entiers ...supérieurs à \(10^{30}\) (...preuve en 1984 !!)  . Mais, réciproquement  ,  la fausseté de cette conjecture n'infirme cependant pas celle de Riemann.

-
Edité par Sennacherib 9 février 2015 à 11:38:02

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
9 février 2015 à 16:44:11

melepe a écrit:

...la fonction zêta a été définie par Euler, qui venait de calculer \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac1{n^2} \), et qui voulait généraliser le calcul.

Une petite faute de frappe : \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2} \) parce que diviser par zero, c'est mal

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10 février 2015 à 3:45:17

Hébé... Désolé pour ces erreurs. Je corrige.

@Thinking : Non, une solution (approchée) serait \( s = 1/2 + i 14.13\dots \). Cela dit, si tu ne sais pas ce qu'est un nombre complexe, je te suggère d'en apprendre au moins les bases pour savoir ce que veut dire ce i. Et pour ta deuxième question, pour simplifier : ce que l'on cherche, c'est la répartition des nombres premiers, autrement dit on cherche à évaluer \( \pi(x) \), qui est le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Or, si la conjecture de Riemann est vraie, alors on arrive à avoir une estimation de la fonction \( \pi \) beaucoup plus précise que ce que l'on a jusqu'à présent.

(Bon, par contre, en relisant l'article de mathworld, j'ai l'impression que la dernière domination donnée -- équation 24 --, sans l'hypothèse de Riemann, donne déjà un reste qui converge vers 0, donc je ne vois pas trop ce que l'hypothèse de Riemann pourrait apporter de plus... Mais comme il est 4h00 et que je travaille demain, je vais aller me coucher. :-°)

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Edité par melepe 10 février 2015 à 3:52:05

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10 février 2015 à 10:47:36

melepe, il était sans doute temps que tu ailles te coucher...:ange:

avec l'hypothèse de Riemann, \(\pi(x)=\mbox{Li}(x)+\mathcal{O}( \sqrt{x}\ln(x))\),   

dans l'équation 24 de ton lien , \(\pi(x)=\mbox{Li}(x)+\mathcal{O}( \alpha(x))\) ,   le \(\alpha(x)\) (je ne recopie pas...!) ne  tend certainement pas pas vers 0 et croit sensiblement plus vite que \(\sqrt{x}\ln(x)\) 

Il semble ( numériquement) que pour \(x \rightarrow \infty\) , \(\frac{\alpha(10x)}{\alpha(x)} \sim 10 \) alors que ce rapport dans l'hypothèse de Riemann tend vers \(\sqrt{10}\)  ...ce qui conduit rapidement à un écart considérable entre les deux termes d'erreur  qui peut (éventuellement... ) justifier les efforts déployées depuis > un siècle...:lol:

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Edité par Sennacherib 10 février 2015 à 10:49:04

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Anonyme
10 février 2015 à 19:21:18

Merci pour vos réponses :) Je commence à comprendre. Oui je connais (que partiellement ) les nombres complexes. Il est vrai qu'il est donc un peu tôt pour regarder ce genre de problèmes, mais c'est juste par simple curiosité, pas pour chercher :) Je me dis comme ça que les mathématiques sont pleins de rayon de fumées dans les airs (représentant les problèmes) que l'ont arrive pas à éclaircir (résoudre). C'est d'ailleurs ce que je trouve magique ;) Mais en dehors de cela, je voulais comprendre qu'elles étaient ces problèmes qui tiennent tête au mathématiciens depuis tant d'années.

Je vais donc regarder deux trois petits truc théoriques à apprendre en maths afin d'avoir une parfaite comprehension de ce problème.  J'ai d'alleurs regarder d'autres problèmes comme P=NP qui sont déjà plus à ma porter (je parle de la comprehension de l'énoncé hein ! :) ). J'ai lu que l'ont pouvait résoudre des problèmes appelés Np complet pour résoudre ce problème, l'un consistait à trouver par odinateur les solutions de graphes hamiltoniens en temps polynomiales je m'étais alors renseigner sur ces graphes je ne comprenais pas pourquoi sur cette exemple : (wikipédia) :

Je ne comprends pas pourquoi on passe en diagonale (faire le tour aurait suffit non ?). Si on fait AB-BC-CD-DA ça marche nan ? Pourquoi vouloir faire AB-BC-CD-DA-AC ???

Mais il est vrai que ce mystère des nombres premiers m'a de suite interressé.

D'ailleurs j'ai vu que pour s=2 zêta = pi^2/6 je trouve ça extrémement étrange d'avoir des résultats pour des suites infinies !!! ???

Comme j'avais vu que : 1+2+3+4+5+6+7+8+8+10+11 ... (jusqu'a l'infini) = -1/12 ????!!

Il est vrai que des fois les maths c'est étrange... Surtout que en l'occurence ça va contre le principe de l'addition :)

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Edité par Anonyme 10 février 2015 à 19:27:03

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10 février 2015 à 21:47:49

Un peu plus d'attention lors de ta lecture t'aiderait. Le graphe en question est hamiltonien parce qu'on peut trouver un chemin hamiltonien, c'est à dire un chemin passant par tous les sommets une seule et unique fois. On est pas forcé de prendre l'arête du milieu ; et en effet, le même graphe mais auquel on a enlevé l'arête diagonale est aussi hamiltonien.
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yjltg.
10 février 2015 à 22:09:44

Thinking a écrit:

Merci pour vos réponses :) Je commence à comprendre. Oui je connais (que partiellement ) les nombres complexes. Il est vrai qu'il est donc un peu tôt pour regarder ce genre de problèmes, mais c'est juste par simple curiosité, pas pour chercher :) Je me dis comme ça que les mathématiques sont pleins de rayon de fumées dans les airs (représentant les problèmes) que l'ont arrive pas à éclaircir (résoudre). C'est d'ailleurs ce que je trouve magique ;) Mais en dehors de cela, je voulais comprendre qu'elles étaient ces problèmes qui tiennent tête au mathématiciens depuis tant d'années.

Je vais donc regarder deux trois petits truc théoriques à apprendre en maths afin d'avoir une parfaite comprehension de ce problème.  J'ai d'alleurs regarder d'autres problèmes comme P=NP qui sont déjà plus à ma porter (je parle de la comprehension de l'énoncé hein ! :) ). J'ai lu que l'ont pouvait résoudre des problèmes appelés Np complet pour résoudre ce problème, l'un consistait à trouver par odinateur les solutions de graphes hamiltoniens en temps polynomiales je m'étais alors renseigner sur ces graphes je ne comprenais pas pourquoi sur cette exemple : (wikipédia) :

Je ne comprends pas pourquoi on passe en diagonale (faire le tour aurait suffit non ?). Si on fait AB-BC-CD-DA ça marche nan ? Pourquoi vouloir faire AB-BC-CD-DA-AC ???

Mais il est vrai que ce mystère des nombres premiers m'a de suite interressé.

D'ailleurs j'ai vu que pour s=2 zêta = pi^2/6 je trouve ça extrémement étrange d'avoir des résultats pour des suites infinies !!! ???

Comme j'avais vu que : 1+2+3+4+5+6+7+8+8+10+11 ... (jusqu'a l'infini) = -1/12 ????!!

Il est vrai que des fois les maths c'est étrange... Surtout que en l'occurence ça va contre le principe de l'addition :)

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Edité par Thinking il y a environ 1 heure


Si P = NP, l'algorithme de chiffrement RSA a de sérieux soucis à se faire. Etant donné que c'est le chiffrement le plus fréquent, toute sécurité des communications pourrait être cassée très facilement. Pourquoi on en parle ? Il est beaucoup plus rapide de résoudre un problème P (polynomial) dit "simple" qu'un problème NP (non polynomial) dit complexe. Pour résoudre les problèmes P simples, on a des algorithmes très rapides. Pour résoudre des problèmes NP complexes, on essaie de trouver des fonctions sympathiques et des voisinages adéquats pour arriver aux meilleurs extrema. On peut ainsi ne pas tomber sur la meilleure solution. En informatique, un temps polynomial est toujours meilleur qu'un temps factoriel ou exponentiel. Quand n est grand (donc un grand nombre de données), \(n^{10}\) est très faible comparé à \(e^n\) ou à \(n!\).

Quant à la série des entiers naturels, c'est vrai que ça peut paraître assez étrange. Cependant, si l'on devait être rigoureux, on ne pourrait pas arriver à ce résultat.

Soit \(c_n = \sum_{i=1}^{n} i\)
\(4c_n = \sum_{i=1}^n i\)
\(c_n - 4c_n = \sum_{i=1}^{n} i - \sum_{i=1}^{n} 4 \times i\)

En développant un peu (\(n \geq 5\)) :
\(-3c_n = 1 + 2 + 3 + 4 - 4 - 8 + \sum_{i=5}^{n} i - \sum_{i=3}^{n} 4 \times i\)
\(-3c_n = 1 + (2 - 4) + 3 + (4 - 8) + \sum_{i=5}^{n} i - \sum_{i=3}^{n} 4 \times i\)
\(-3c_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \sum_{i=5}^{n} i - \sum_{i=3}^{n} 4 \times i\)

En prenant directement la série, on ne prend pas en compte ces différences d'indices et on est donc tenté de dire :
\(-3c_\infty = \sum_{i=1}^\infty (-1)^{i+1} \times i\)

La série ainsi créée est finie et vaut \(\frac{1}{4}\). De ce fait, on en déduit \(c = -\frac{1}{12}\). L'omission est au niveau de la simplification.

\(-3c_{2n} = \sum_{i=1}^{2n} (-1)^{i+1} \times i - \sum_{i=n+1}^{2n} 4 \times i\)

Quand n tend vers l'infini, n+1 et 2n tendent également vers l'infini. La 2ème somme ne peut donc pas être écrite mais est néanmoins présente. C'est le silence sur cette somme qui provoque l'incohérence.

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Edité par anolya 10 février 2015 à 22:13:35

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Anonyme
11 février 2015 à 19:34:24

Cependant, si l'on devait être rigoureux, on ne pourrait pas arriver à ce résultat.

En fait, si, on peut parfaitement. Tout dépend de la définition de l'addition que l'on prend pour faire la somme infinie (soit on utilise l'associativité et on calcule une limite de somme partielle, soit on réfléchit un peu avant de se borner et on se rend compte que l'associativité sur une somme infinie ça marche pas et on prolonge la fonction zeta).

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Edité par Anonyme 11 février 2015 à 19:35:14

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11 février 2015 à 20:03:25

Ah les séries divergentes :D. Tant de malentendus à cause du vocabulaire employé. Le piège quand on parle de séries divergentes c'est qu'il de s'agit plus de la somme telle qu'on la connait, mais d'une "somme" un peu bâtarde qui permet de faire des choses non triviales sur les séries divergentes.

Mais qu'on se rassure, une série divergente restera divergente.

Thinking a écrit:

Je vais donc regarder deux trois petits truc théoriques à apprendre en maths afin d'avoir une parfaite comprehension de ce problème.  

C'est peut-être un peu ambitieux ... Comprendre parfaitement ce genre de problème est ardu. Du fait de la variété du mathématiques utilisées et des interprétations possibles. Je sais pas si quelqu'un a vraiment compris le problème de l'hypothèse de Riemann. Certains savent de quoi ça parle, mais est-ce qu'ils ont compris ? Je sais pas ... Je pense que la démonstration permettra de comprendre (si on en trouve une).
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11 février 2015 à 20:21:41

Commencer par de la vulgarisation peut être pas mal. Ce livre (Prime obsession) a l'air bien, je connais pas mais j'ai lu un autre bon bouquin de cet auteur.
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12 février 2015 à 2:58:52

Sennacherib a écrit:

melepe, il était sans doute temps que tu ailles te coucher...:ange:

Oui, je pense aussi ! Du coup je me couche une heure plus tôt aujourd'hui (\o/), et je vais éviter de faire des maths à cette heure-là. :p Je pense que le pire, c'est que j'avais vérifié avec Wolfram Alpha, et que ça donnait bien zéro... Donc j'ai regardé dans mon historique quelle formule j'avais entrée, et je vais éviter de la poster ici. :-°

@Thinking : le mieux est peut-être de poser tes questions sur des sujets différents, notamment un pour les graphes et un autre pour les sommes infinies, sinon ça risque de partir dans tous les sens. :)

Edit: Tiens, on dirait comme un problème de CSS sur les forums.

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Edité par melepe 12 février 2015 à 3:02:26

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Anonyme
12 février 2015 à 22:47:10

@anolya J'ai compris ta démonstration mais bien que le résultat obtenu parait plus evident que le précedent qui était négatif il est est néanmoins illogique car si on fait 1+2+3=6 or on remarque chacun des nombres qui vont être addiionner à 6 or ces nombres seront supérieur à 3 (si on poursuit 6+4+5+7+8+9+10+11+12 ... ) puisque les nombres sont supérieurs à 3 alors le résultat est dans tous les cas supérieur à 6 !! Et il en va de même qu'il paraitrait logique que celui-ci soit égale à infini !!

@ @dri1 Donc cela voudrait dire que l'ont pourrais obtenir deux résultats pour une même suite ??!! Dont un est un résultat négatif alors que l'on additionne des nombres entiers ! et l'autre un resultat décimale alors qu'ont additionne des nombres premiers !!

@Holosmos Oui tu as raisons, je réctifis je vais essayer de comprendre en généralité ce que demande le problème ;D

@Hazdrubal Oui je vais regarder ça à l'air interessant ;)

@melepe Oui tu as raison ;) je me demandais d'ailleurs pourquoi zêta(2)=pi^2/6 J'ai vu ça je ne sais plus ou et je trouve ça étonnant, en faite ce que je trouve le plus étonnant c'est toute ces sommes considérés comme infinies que l'ont arrive à calculer alors qu'elles sont sensés être infini donc = infini ;p Par exemple pour n'importe qu'elle nombre il paraitrait logique que la fonction zêta pour chaque nombre soit = infini ? !

Merci beaucoup pour vos réponses ! :)

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Anonyme
12 février 2015 à 22:58:41

@ @dri1 Donc cela voudrait dire que l'ont pourrais obtenir deux résultats pour une même suite ??!! Dont un est un résultat négatif alors que l'on additionne des nombres entiers ! et l'autre un resultat décimale alors qu'ont additionne des nombres premiers !!

Au lieu de t'emballer et de partir dans tous les sens en t'exclamant, relis mon message. Déjà il s'agit de séries et non de suite, et ensuite si on ne prend pas la même définition de l'addition, il est évident que les deux séries ne sont pas les mêmes...

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12 février 2015 à 23:54:28

Thinking a écrit:

@melepe Oui tu as raison ;) je me demandais d'ailleurs pourquoi zêta(2)=pi^2/6 J'ai vu ça je ne sais plus ou et je trouve ça étonnant, en faite ce que je trouve le plus étonnant c'est toute ces sommes considérés comme infinies que l'ont arrive à calculer alors qu'elles sont sensés être infini donc = infini ;p Par exemple pour n'importe qu'elle nombre il paraitrait logique que la fonction zêta pour chaque nombre soit = infini ? !

Ce n'est pas parce que tu additionnes une infinité de termes que le résultat doit forcément être infini. Si les termes que tu additionnes deviennent de plus en plus petits, la somme peut très bien atteindre un palier au lieu de diverger vers l'infini.

Par exemple, prenons la somme \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots\) :

  • Si tu calcules \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\), tu obtiens \(\frac{3}{4}\), on est un peu en-dessous de la valeur 1.
  • Si tu additionne \(\frac{1}{8}\) au résultat, tu obtiens \(\frac{7}{8}\), on s'est rapproché de 1, mais on n'y est pas encore.
  • Si tu continues à additionner, tu obtiendras des valeurs de plus en plus proches de 1, mais jamais supérieures à 1 : \(\frac{15}{16}\), \(\frac{31}{32}\), etc.

On donne alors 1 comme valeur à la somme "infinie" \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}\) :)

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Edité par cklqdjfkljqlfj 12 février 2015 à 23:54:46

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13 février 2015 à 0:32:10

Pour l'histoire du -1/12, un article un peu plus vulgarisé que celui de Tao:

https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/

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Mon tuto de physique | L'algèbre linéaire | Mon tuto sur les complexesZeste de Savoir | Dieu ne joue pas aux dés, il saute à la corde
13 février 2015 à 0:43:25

Je plussoie ckl... Je voulais juste rajouter une image qui je pense peut aider à comprendre.

Imagine-toi un carré, de côté 1cm. Ce carré a donc une aire de 1cm^2. A la première étape, tu colories la moitié du carré. A la deuxième étape, tu colories la moitié de ce qu'il reste. (Tu colories la moitié de la moitié restante du carré) A la troisième étape, tu colories la moitié de ce qu'il reste. (Tu colories la moitié de la moitié de la moitié restante du carré) etc.

Tu te rends bien compte qu'en faisant ainsi, la surface coloriée ne dépassera jamais 1cm^2 , puisque tu colories toujours à l'intérieur du carré (fais le dessin, ça t'aidera à mieux comprendre). Et que plus tu dessines sur la moitié de la moitié... de la moitié restante, plus l'aire de la surface coloriée se rapproche de 1 cm^2 . Et que, si on le faisait à l'infini, alors on aurait colorié tout le carré.

Or, à l'étape 1, tu as colorié 1/2 cm ^2 , à l'étape 2 tu as colorié 1/4 cm^2 , à l'étape 3 1/8 cm^2 , etc. Ainsi, puisque à l'infini on colorie l'intégralité des 1cm^2 , on a \( \displaystyle \frac 12 + \frac 14 + \frac 18 + \dots = \sum_{k=1}\^\infty \frac 1 {2\^k} = 1 \).

Bon, c'est pas rigoureux, mais ça te montre comme quoi une somme avec un nombre infini de termes ne vaut pas forcément l'infini. :)

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Anonyme
13 février 2015 à 17:15:49

Hummm je comprends mieux ;)

Y a t-il alors une démonstration pour l'exemple donné 1/2+1/4+1/8 ...???

Il est vraie que cela parait plus logique, par contre j'ai vu que l'infini des nombres entiers était inferieur à l'infini des nombres décimaux ? Comment est ce possible infini c'est infini on ne peut avoir plus grand que infini ? Et je crois que l'infini des nombres premiers des nombres entiers est égale à l'inifini des nombres pairs, est ce vrai ?

Merci d'avnace ! :)

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13 février 2015 à 17:53:55

Wtf. Je comprends pas ce que tu appelles "l'infini des nombres entiers"
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13 février 2015 à 18:00:54

Thinking a écrit:

Y a t-il alors une démonstration pour l'exemple donné 1/2+1/4+1/8 ...???

Bien sûr : appelons \(S_n\) la somme partielle \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n}\) (\(n\) étant un entier naturel quelconque)
On va essayer de trouver la valeur de \(S_n\). Pour ça, on va calculer \(S_n-\frac{1}{2}S_n\) :

\[S_n-\frac{1}{2}S_n=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n})-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n})\]

\[S_n(1-\frac{1}{2})=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^n})-(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^{n+1}})\]

\[\frac{S_n}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}\]

(les termes \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\), etc. se simplifient, et il ne reste plus que les deux termes situés aux "extrémités")

On a donc \(S_n=1-\frac{1}{2^n}\)

Pour voir ce que donne la somme infinie, il faut donc voir ce qu'il se passe si \(n\) devient très grand : \(2^n\) devient (énormément !) grand, donc \(\frac{1}{2^n}\) sera très proche de \(0\).

Du coup, le résultat du calcul sera très proche de \(1\) dès que \(n\) est très grand : on dit que la limite de \(S_n\) quand \(n\) tend vers l'infini vaut \(1\), et du coup : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=1\) :)

Thinking a écrit:

Il est vraie que cela parait plus logique, par contre j'ai vu que l'infini des nombres entiers était inferieur à l'infini des nombres décimaux ?

Les deux infinis que tu cites sont parfaitement égaux (ou dit de façon plus "mathématique", les ensembles \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{D}\) ont le même cardinal).

Par contre, \(\mathbb{R}\) a un cardinal strictement plus grand que celui de \(\mathbb{N}\).

Thinking a écrit:

Comment est ce possible infini c'est infini on ne peut avoir plus grand que infini ?

Il y a plusieurs "tailles" pour les ensembles infinis : \(\mathbb{N}\) est de "petite" taille (bon ok, elle est quand même infinie :-°) : on peut compter ses éléments un par un (si on a une patience infinie :D) : on dit que \(\mathbb{N}\) est dénombrable.

L'ensemble \(\mathbb{R}\), lui, est beaucoup trop grand pour qu'on puisse compter ses éléments un par un (même avec une patience infinie :p) : il n'est donc pas dénombrable.

Thinking a écrit:

Et je crois que l'infini des nombres premiers des nombres entiers est égale à l'inifini des nombres pairs, est ce vrai ?

Exact : tous les ensembles que tu cites sont dénombrables.

Holosmos : je crois qu'il parle du cardinal de l'ensemble \(\mathbb{N}\) (du moins, moi, je l'ai compris comme ça :-°)

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Edité par cklqdjfkljqlfj 13 février 2015 à 18:02:24

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13 février 2015 à 18:01:35

je n'ai pas tout lu des derniers posts et j'espère ne pas faire doublon mais tous les infinis ne se valent pas si je puis dire.

 La manipulation de l'infini est chose mathématiquement délicate et on peut trés sommairement donner les notions élémentaires suivantes:

On distingue déjà les ensembles infinis dénombrables et le ensembles non-dénombrables.

Un ensemble infini dénombrable est un ensemble que l'on peut mettre en bijection avec \(\mathbb{N}\) justement . Par exemple \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\)  sont dénombrables. On montre que les ensembles produits d'un nombre fini d'ensemble dénombrables sont dénombrables etc....

A contrario, un ensemble infini est non dénombrable s'il ne peut être mis en bijection avec \(\mathbb{N}\).

On mesure la "taille" d'un infini par son cardinal. ( celui d'un ensemble fini est son nombre d'éléments). Traditionnellement le cardinal de  \(\mathbb{N}\) , ou de tout ensemble dénombrable, est désigné par \(\aleph_0\) ( lire aleph-zéro).

On dit que deux ensembles sont équipotents si on peut construire une bijection entre eux. Et ils on le même cardinal.

L'exemple fondamental d'ensemble non dénombrable est \(\mathbb{R}\). Le cardinal de \(\mathbb{R}\) se note \(mathcal{c}\) : on parle de cardinal ou plus usuellement de puissance du continu.

Une question fondamentale est de se demander s'il exite des ensembles dont le cardinal est compris entre \(\aleph_0\) et \(mathcal{c}\) .

La conjecture d'une réponse négative à cette question est ce que l'on appelle l'hypothèse du continu.

 Il a été démontré (Cohen, 1963) que la conjecture est ...indémontrable. voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_du_continu#Ind.C3.A9cidabilit.C3.A9 pour quelques précisions sur les conséquences.

Par contre , il y a bien sûr des ensembles non dénombrables de cardinal supérieur à \(\mathcal{c}\). L'ensemble \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) des parties de \(\mathbb{R}\) est de cardinal supérieur à \(\mathcal{c}\) ( de façon générale, on montre que le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble quelconque est supérieur au cardinal de cet ensemble).

Par contre , une partie d'un ensemble infini peut avoir le même cardinal que l'ensemble complet . Ainsi tout intervalle \([a,b],a>b \)de  \(\mathbb{R}\) est, en terme d'infini de même "taille", son cardinal est \(\mathcal{c}\). 

 edit sur l'infini, légèrement grillé d'un nombre dénombrable de secondes par cklqd....:lol:

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Edité par Sennacherib 13 février 2015 à 18:11:27

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