Bonjour :
je veux savoir une idée sur la densité de Q dans R.
Merci d'avance

Salut,

Pourrais-tu être un peu plus explicite sur ce que tu demandes ?

La densité de Q dans R signifie simplement que dans n'importe quel intervalle non vide de R et ne comportant pas un seul élement (donc au moins deux éléments), on peut trouver un rationnel (donc appartenant à Q).

Bonjour,

je veux savoir une question correcte.

<math>\(\mathbb{Q}\)</math> est dense dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>: cela signifie que dans tout intervalle (non réduit à un singleton), il y a au moins un rationnel. Il y a aussi un irrationnel car <math>\(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\)</math> est dense dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>. Soit:
<math>\(\forall a>b ,\exists x\in\mathbb{Q}\left| x\in\left] a,b\right[\right.\)</math>

alors ma question est de comment démontrer que Q est dense dans R

Bonjour,

Voici un début de démonstration :

Soit a, b deux réels positif distincts avec a<b. Soit n un entier naturel non nul vérifiant : 1/n < b-a (un tel entier existe).

À partir de là, il est assez facile possible de construire un rationnel k/n compris entre a et b.

Citation : Quinze

Bonjour,

Voici un début de démonstration :

Soit a, b deux réels positif distincts avec a<b. Soit n un entier naturel non nul vérifiant : 1/n < b-a (un tel entier existe).

À partir de là, il est assez facile de construire un rationnel k/n compris entre a et b.

Je ne suis pas très au point sur la question, mais il me semble que, justement, toute la subtilité réside dans la preuve (à moins que ce ne soit axiomatique ?) que l'entier n existe, non ?

Citation : souls killer

Je ne suis pas très au point sur la question, mais il me semble que, justement, toute la subtilité réside dans la preuve (à moins que ce ne soit axiomatique ?) que l'entier n existe, non ?

Oui, enfin c'est juste une application de la définition de la limite. Selon moi, la subtilité réside plus dans la démonstration de l'existence d'un k tel que k/n soit compris entre a et b. C'est pour ça que je lui laisse le soin de la trouver par lui-même.

Edit : Il est vrai que dans mon post plus haut, je marque qu'il est "assez facile" de trouver un k, ce qui est un peu paradoxal avec ce que je viens de dire...

Les preuves que l'on trouve de cette densité des rationnels sont en général assez simples, elles tentent d'exhiber pour un réel quelconque une suite de rationnels qui converge vers ce réel.

Mais si on y réfléchi bien, ce n'est pas un peu le serpent qui se mort la queue ?... dans la mesure où l'on construit généralement les réels comme l'ensemble des limites des suites convergentes de rationnels, <math>\(\mathbb Q\)</math> est dense dans <math>\(\mathbb R\)</math>... par construction. Alors je dirais qu'il y a autant de preuves de cette densité que de contextes dans lesquels cette question est posée.

Les démonstrations les plus simple utilisent implicitement des résultat de topologie ou d'agèbre assez forts découlant de la construction des réels (comme le fait que <math>\(\mathbb R\)</math> soit archimédien, ou peut-être le fait que la topologie d'ordre sur <math>\(\mathbb Q\)</math> coïncide avec sa topologie de sous-espace dans l'espace réel standard...), ce qui n'a souvent jamais été étudié par ceux qui s'attaquent à cette preuve, car ces résultats semblent très intuitifs. Après je ne sais pas quel est ton niveau beegm-nov donc c'est peut-être juste du charabia ce que je dis Dans quel contexte du veux démontrer ça ?

Alors après on peut montrer ça en partant de la construction elle-même, c'est un exercice de topologie assez fun !

Une construction rigoureuse est de considérer les réels comme étant l'ensemble des suites de Cauchy de rationnels quotienté par la relation d'équivalence



Je ne sais pas quel est ton niveau beegm-nov, j'imagine que ce que tu attends c'est plutôt une preuve assez simple.

Est ce que la "densité 1" : pour tout x,y réels distincts il existe r rationnel tel que x<r<y
Et la "densité 2" : l'adhérence de Q est égale à R
sont équivalentes ?

Uniquement dans les espaces vectoriels normés de dimensions finis (je crois que ça découle de : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes).

Il n'y a pas forcément d'ordre sur un espace vectoriel normé de dimension finie.
Je dirais que c'est vrai pour les continuum linéaires munis de leur topologie d'ordre (un continuum linéaire est un ensemble ordonné linéairement (qu'on peut mettre en ligne du plus petit au plus grand) et qui vérifie certaines propriétés comme "tous sous-ensemble non-vide qui a une borne supérieur a un supremum")... à vérifier, c'est peut-être une bêtise. En tout cas ce n'est certainement pas vrai pour un espace ordonné quelconque.

Cela dit, la "véritable" définition de "A est dense dans B" est "l'adhérence de A est égale à B" (donc la 2ème définition).

Les 2 définitions sont en tout cas équivalent pour <math>\(\mathbb R\)</math> (qui au passage est un continuum linéaire).

Bonjour,

Revan a rappelé la méthode "historique " de construction de R par les suites de Cauchy qui implique la densité de Q et la complétude de R "par construction" et certaines connaissances pour en saisir le sens

Je donne quelques indications/informations supplémentaires que j'espère accessibles pour un lecteur moins averti, permettant de toucher du doigt le "mystère" de la densité et me semblant dans la ligne de la question de départ.

Il peut donc être intéressant de montrer de façon trés simple l'existence de nombres qui ne sont pas solution de certaines équations dans Q.
Considérons l'équation <math>\(\[ x^{2}=2 \]\)</math>
Cherchons à la résoudre dans Q. Soit <math>\(\[ \dfrac{a}{b}, \; a,b\in \mathtt{Z} \]\)</math> un nombre rationnel où on suppose a et b premiers entre eux puisqu'on sait que tout rationnel peut être mis sous cette forme.
On devrait donc avoir <math>\(\[ a^{2}=a.a=2b^{2} \]\)</math> donc 2 est un diviseur de a.
Alors <math>\(\[ 2\vert a \Longrightarrow \exists a':a=2a'\]\)</math>
d'ou :
<math>\(\[ b^{2}=2a' \]\)</math>
2 devrait donc diviser b . Comme 2 divise aussi a, a et b ne seraient pas premiers entre eux, ce qui est contradictoire.
Ainsi on montre de façon trés simple que, l'équation n'a pas de solution dans Q.
Mais on sait pourtant par la géométrie et le théorème de pythagore qu'un tel nombre doit exister puisque x est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.
Ainsi, l'ensemble Q a des trous.
Pourtant on peut se rappocher dans Q de ces trous autant qu'on le veut,par des suites de rationnels ce sont les fameuses suites de Cauchy.

Une deuxième façon de toucher du doigt l'existence de ces trous est de regarder la structure des décimales d'un nombre.
On montre facilement que, au delà d'un rang fini, cette structure est périodique pour un nombre rationnel et réciproquement, que toute suite infinie périodique de décimales s'associe à un rationnel.
Alors tout nombre dont les décimales sont formés d'une suite infinie non périodique de chiffres entre 0 et 9 n'est pas rationnel . Il y en a évidemment une infinité, beaucoup plus grande que celle des rationnels, on dit que leur ensemble est non dénombrable. Présisons simplement cette notion essentielle:
il faut retenir que, bien que Q soit infini et dense dans R, il y est dénombrable c'est à dire que l'on sait construire une bijection entre Q et N
Par contre R est beaucoup plus vaste,: on ne sait pas mettre R en bijection avec N, ceci caractérise la non dénombrabilité, un peu plus délicate à prouver.

En pénétrant sommairement dans cette non dénombrabilité du complementaire de Q, il est à retenir que l'on peut décomposer la partie irrationnelle de R en une partie encore dénombrable et une non dénombrable.
- le premier sous ensemble est celui des nombres dits algébriques, racines de polynômes à coefficients entiers. Ainsi la solution de l'équation du début <math>\(\[ x^{2}=2 \]\)</math> est un irrationnel algébrique.
- le second, les nombres transcendants , est donc de loin le sous ensemble le plus vaste.

Mais même pour ces nombres, la densité de Q signifie qu'ils sont tous limites de suite de rationnels.
Donnons un exemple parmi les plus connus: e = exp(1)= 1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!+..
Les demonstrations pour prouver qu'un nombre est transcendant sont en général complexes et de nombreuses situations sont encore des problèmes ouverts.

Pour conclure, disons qu'avec R, on a fini de boucher les trous de la droite réelle. R n'est pas lui-même dense dans un ensemble qui serait plus vaste.

Pour conclure, on peut dire que la démarche bouche tous les trous laissés par Q . Toute suite convergente de nombre réels convergent vers un nombre réel. On dit que R est complet

C'est une bonne idée nabucos de rendre ces notions un peu plus palpables J'ai peut-être été un peu trop technique. Voir cette construction comme un "bouchage de trous" ça fait bien sentir qu'on a fait cette construction pour rendre <math>\(\mathbb R\)</math> "complet" (toutes les suites de Cauchy convergent), en revanche ça ne veut pas dire que « <math>\(\mathbb R\)</math> n'est pas lui-même dense dans un ensemble qui serait plus vaste.»

Je pense que lorsqu'il a dit « R n'est pas dense dans un ensemble qui serait plus vaste », c'était sans lien avec ce qui précédait. Simplement une ouverture.

Quoi qu'il en soit, nabucos, ton message est très appréciable, merci.

« c'était sans lien avec ce qui précédait. Simplement une ouverture.» J'ai effectivement interprété la tournure de sa phrase comme une implication, mais même si ce n'est pas le cas ça ne rend pas cette affirmation plus vraie On peut construire des ensembles plus grands que <math>\(\mathbb R\)</math> dans lequel <math>\(\mathbb R\)</math> est dense.

Bonsoir,
à Revan et south killer
Suite à vos remarques , j'ai modifié ma conclusion imprécise et inadaptée à ce qui précéde.
J'espère que la nouvelle est sans ambiguïté et dans la logique de la démarche se voulant "pédagogique qui précéde.

Question de quelqu'un qui n'y connait rien (moi):
Si on prend la défininition de la densité (entre deux réels, il existe un rationnel), est-ce qu'entre deux rationnels, il n'existe pas aussi un irrationnel? Donc R serait dense dans Q aussi? (je sens que j'ai dit une énormité mais bon...)

En effet, <math>\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)</math> est dense dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>.
Si on prend deux réels a et b, en appliquant densité de Q dans R à <math>\(]a-\sqrt{2} , b-\sqrt{2}[\)</math> il existe un rationnel <math>\(p \in ]a-\sqrt{2} , b-\sqrt{2}[\)</math>, et donc <math>\(p+\sqrt{2}\)</math> est un irrationnel(*) appartenant à<math>\(]a,b[\)</math>. C'est un peu astucieux mais c'est joli

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(*) comme p est rationnel, <math>\(p + \sqrt2\)</math> est irrationnel, car par l'absurde si <math>\(p + \sqrt2 = q \in \mathbb{Q}\)</math>, alors <math>\(\sqrt2 = q - p\)</math> est rationnel comme somme de deux rationnels. Or <math>\(\sqrt2\)</math> est irrationnel : c'est absurde (on voit qu'on aurait pu prendre n'importe quel irrationnel à la place de racine de 2).

Bonjour,
@Krosian tu dis
"en effetb R\Q est dense dans R
oui,
...mais ce n'est pas a priori la question de hazdrubal qui demande

Citation

Donc R serait dense dans Q aussi?

R ne peut pas être dense dans Q car R n'est pas inclus dans Q.
Mais la réponse à la question de hazdrubal est positive : entre deux réels il existe un irrationnel, a fortiori entre deux rationnels il existe un irrationnel.

Bonsoir,
je t'accorde volontiers la réponse!
J'ai simplement rappelé factuellement la question...

Tout va bien alors

Citation : krosian

R ne peut pas être dense dans Q car R n'est pas inclus dans Q.

C'est faux : <math>\(A\)</math> peut être dense dans <math>\(B\)</math> sans y être inclus pour cela il faut est suffit que <math>\(B\subset\overline{A}\)</math>
Ainsi quand tu prends un rationnel tu peux exhiber une suite de réels qui tend vers ce rationnel (prends la suite constante égale à ce rationnel), ainsi <math>\(\mathbb{R}\)</math> est dense dans <math>\(\mathbb{Q}\)</math>, mais c'est vrai que ça sert à rien.

Non L01c, "A est dense dans B" signifie que l'adhérence de A est égale à B. Donc pour que A soit dense dans B, A doit être un sous-ensemble de B, sinon la question n'a pas de sens
En effet si A n'est pas inclus dans B, l'adhérence de A ne peut donc pas être égale à B (car l'adhérence de A contient A, qui a des éléments en dehors de B).

J'adore les gens péremptoires à propos de définitions arbitraires et conventionnelles... Allez, prochain débat : "1, nombre premier ou pas ?". "A est dense dans B (dans l'espace X)", selon les conventions, peut soit vouloir dire que B est inclus dans l'adhérence, ou est égal. Ça sert à rien de se battre là-dessus...

1 n'est pas premier, sinon il n'y aurait pas unicité de la décomposition en facteurs premiers. C'est pas arbitraire
Bon, je sors -->[]

Bonjour,

à zulon

Citation

Ça sert à rien de se battre là-dessus...

en effet, mais ...
les affirmations de Revan et Krosian ne me semblent avoir rien de péremptoire (?), mais sont plutôt un rappel de ce que doit être la rigueur de raisonnement qui commence par celle des définitions.

Il ne sert à rien de se battre .., surtout pas ici par la logique mathématiques, je me contenterai de celle de Pierre Dac

Citation

C'est quand on a raison qu'il est difficile de prouver qu'on n'a pas tort..

En effet ça n'avait rien de péremptoire. Les définitions en mathématique ne sont pas arbitraires et l'on ne doit pas être laxiste lorsqu'on les utilise. C'est tout ce qu'on a pour savoir de quoi on parle.

Si je corrigeais L01c c'est que toutes mes références donnent la définition de densité que j'ai citée (mon cours, wikipédia, le cours de topologie de l'ENS, le livre Topology de Munkres)... alors pour une fois que tout le monde était d'accord

Si on dit que A est dense dans B et que A n'est pas inclus dans B, j'imagine que cela sous-entend que A et B sont deux sous-ensembles d'un même espace topologique, et que l'adhérence de l'intersection des 2 vu comme sous-ensemble du sous-espace topologique B a pour adhérence B. On doit pouvoir montrer que c'est équivalent à dire que B est inclus dans l'adhérence de A...

Il me semble naturel de poser que pour que A soit dense dans B, A doive être dans B L'alternative n'est pas absurde mais me semble être un abus de langage (dont on use et abuse en mathématiques, il faut l'admettre !)

L'adhérence de A en tant que telle n'existe pas. C'est une notion relative qui dépend de l'espace dans lequel on se place. Ainsi l'adhérence de <math>\(]0,1[\)</math> est <math>\(]0,1]\)</math> lorsqu'on se place dans <math>\(\mathbb{R}^{+*}\)</math> et <math>\([0,1]\)</math> lorsqu'on se place dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>.
Lorsqu'on veut savoir si A est dense dans B, on regarde l'adhérence de A en se plaçant dans B et pour cela, il faut <math>\(A\subset B\)</math> sinon cela n'a aucun sens.