j'ai une question qui me turlupine depuis longtemps. La racine carrée de -1 existe-t-elle ? La fonction racine carrée est définie sur R+ et à valeurs dans R+. Selon mes professeurs, seuls les gens sans aucun sens de la rigueur (les clowns selon leurs mots) écrivent que sqrt(-1) = i. Ce serait apparamment considéré comme une écriture fausse, un abus de notation : ce n'est pas parce que i² = -1 que l'on a forcément le droit de mettre une racine sur le -1. Cependant, j'ai bien du mal à trouver des sources sur internet qui affirmeraient la même chose. La page wikipédia sur la racine carrée regorge de "sqrt(-1)", et fort malheureusement, il n'y a pas d'organisation ni personne pour décider des règles des maths comme l'académie française décide des règles d'orthographe.
Peut être que ton prof tique sur le fait de dire que sqrt(-1) ne vaut pas i, sur le même principe que de manière logique, sqrt(4) vaut autant 2 que -2. (vu que 2² = (-2)²= 4 )
Mais vu qu'on définit le fonction racine sur R+, alors la seule solution retenue devient 2 et on vire -2.
Sur le même principe, i n'appartient pas à R+ vu que c'est un nombre imaginaire pure.
De ce fait, mettre sqrt(-1) = i a autant de sens que de mettre sqrt(4) = -2.
De la à dire que ceux qui écrivent ça sont des clowns, ca devient un peu abusif.
{i,-i } sont indiscernable contrairement à {-1,1}.
C'est pour cela que l'on ne peut pas poser \(\sqrt{-1}=i\), alors que l'on peut écrire $\sqrt{1}=1$ (il n'y a pas de "positif" sur les complexes).
Ceci étant dit, cela à un sens historique, $$\sqrt{-1}=i$$, n'est rien d'autre que la variable formelle $i$ dans le corps quotient : $\mathbb R[i]/(i^+1)$
Bonne journée
- Edité par DattierArbre 7 février 2020 à 10:45:34
J'interviens pour dire comment j'ai compris les choses, mais je crois que c'est un peu redondant avec les messages ci-dessus.
Tout ça est une question de notations. Il faut bien distinguer l'expression « la racine carrée » et l'expression « une racine carrée ».
La racine carrée de x, c'est le nombre \( \sqrt {x} \) lorsqu'il existe. Le symbole \( \sqrt{} \) désigne une fonction qui a une définition précise : c'est « la » fonction racine carrée, définie de R+ dans R+.
Une racine de carrée de x, c'est un nombre dont le carré vaut x. Si par exemple x est un réel strictement positif, il possède deux racines carrées.
Ainsi :
- La racine carrée de 9 est 3.
- Les racines carrées de 9 sont -3 et 3.
C'est un choix. On aurait tout aussi bien pu décider que la racine carrée d'un nombre de R+ serait un nombre de R-. En tout cas c'est cohérent (par définition, une fonction ne peut renvoyer qu'une seule image, d'où la nécessité de faire un choix).
Eh bien puisque la racine carrée (la fonction notée \( \sqrt{} \) ) n'est définie que sur les réels positifs, il en résulte que l'écriture \( \sqrt{-1} \) n'a aucun sens.
C'est effectivement une question de rigueur : chaque fois qu'on écrit f(x) ( \( \sqrt{} \) joue le rôle de f), on doit vérifier que x appartient au domaine de définition de f.
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Ce qu'on peut dire, c'est que -1 n'a pas de racine carrée réelle, mais a deux racines carrées imaginaires (dans le sens d'une racine carrée). Mais on ne peut pas les noter avec le symbole \( \sqrt{} \) qui est réservé à la racine carrée (la fonction définie sur R+).
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Il y a plusieurs siècles, les mathématiciens utilisaient la notation \( \sqrt{-1} \) parce que, pour leurs besoins, ça suffisait (on l'utilisait pour résoudre des équations polynomiales et les \( \sqrt{-1} \) apparaissaient uniquement dans les calculs intermédiaires et se simplifiaient en fin de calcul : ouf, ça marche). Mais quand on a commencé à définir précisément les nombres complexes, par exemple quand on a étudié des fonctions de C dans C (au début du 19è siècle), il a bien fallu avoir des définitions précises et ne pas se contenter d'un « ouf ça marche »...
Dans R, non, il n'existe pas de racine carrée de -1.
Les imaginaires sont apparus comme artifice bizarroide servant à résoudre les équations du second/troisième/Quatrième degré sans se prendre la tête avec une multitude de cas. Un truc pas trop justifié, mais qui avait l'air de marcher. Cardan, XVIe
Il a fallu longtemps ensuite (trois siècles) pour qu'on se rende compte qu'on pouvait associer les nombres complexes à des coordonnées dans le plan.
- Edité par michelbillaud 7 février 2020 à 15:16:44
On peut créer des théories complètes en mathématique sur des axiômes qui semblent farfelus à première vue.
sqrt(-1) n'a de sens que si tu veux lui en donner un.
Plusieurs fonctions qui utilisent les nombres complexes utilisent cette propriété.
Les nombres hyperboliques ne pourraient pas être définis sans cela.
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
La racine carrée de -1 existe-t-elle ?
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