Bonjour à tous,

Comment puis-je démontrer les formules de nabla en fonction du système de coordonnées?

Et ensuite le Laplacien et bien égale au produit scalaire de deux nablas?

Merci d'avance.

Salut,

une solution est de partir de l'expression canonique en coordonnées cartésiennes, puis effectuer un changement de variables, par exemple cartésiennes -> cylindriques, etc.

Salut,

Je ne comprend pas en coordonnées cylindriques par exemple on a une division qui apparait par le rayon pour quelle raison?

merci!

le terme en \(r\) apparait parce que les composantes d'un déplacement élémentaire \(d\vec{r}\) en cylindriques sont \(dr, rd\theta, dz\) .

En expriment la différentielle totale de \(f(r,\theta,z)\) de deux façons, 

1 expression naturelle selon les coordonnées 

2 produit scalaire de \(\bigtriangledown(f). d\vec{r}\), expression vectorielle intrinsèque, indépendante des coordonnées, on trouve par identification que \(\frac{\partial f}{\partial (\theta)}=r\bigtriangledown(f)_{\theta} \) d'où le \(\frac{1}{r}\)

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Edité par Sennacherib 20 septembre 2019 à 11:20:06

Merci pour cette réponse, je comprend mieux. Mais je pense avoir un défaut de compréhension de l'opérateur Nabla. En effet, je sais exprimer la différentielle d'un déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques, en revanche je ne comprend pas explicitement le lien entre le déplacement élémentaire et l'opérateur Nabla.

A l'origine je pensais que nable de f représenté la différentielle de f, or je pense me tromper en pensant ça.

Merci beaucoup

QuentinEtudiantgeii a écrit:

A l'origine je pensais que nable de f représenté la différentielle de f, or je pense me tromper en pensant ça.

Merci beaucoup

effectivement .  nabla de f représente l'opérateur gradient  c'est un opérateur vectoriel  de composantes \(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\)  en coordonnées cartésiennes . Appliqué à \(f\), il donne un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles qui caractérisent la variation de \(f\) selon les vecteurs de base.  

La différentielle représente la variation locale d'une  fonction de plusieurs variables. Lorsqu'elle existe, elle s'écrit en fonction des dérivées partielles :

 \(df= \frac{\partial f}{\partial x}dx +\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz\) Une condition d'existence de la diffrentielle est la continuité des dérivées partielles au point considéré. Si on considère un déplacement infinitésimal \(dx,dy,dz\), formellement on voit que la différentielle représente le produit scalaire du gradient par ce déplacement

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Edité par Sennacherib 23 septembre 2019 à 23:53:36