Je suis actuellement le cours de Data Science à l'adresse suivante : "https://openclassrooms.com/fr/courses/4444646-entrainez-un-modele-predictif-lineaire/4507841-maximisez-la-marge-de-separation-entre-vos-classes".
Il faut regarder le passage de quelques dizaines de secondes pour comprendre la suite.
Il est fait mention à la minute 3'50 d'une distance entre un point A et un point B, notée : 'double barre verticale' A - B 'double barre verticale'. Mon bagage mathématique me l'aurait plutôt fait écrire sans le signe "moins".
La prof poursuit : cette distance est reliée à l'inverse de la norme du vecteur caractéristique du plan sur lequel l'un des deux points se trouve. Si je ne m'abuse, le vecteur dont elle parle est normal au plan. Je ne vois pas pourquoi la norme du vecteur serait liée à l'inverse de la distance décrite juste au-dessus.
Mais est-ce que vous avez une idée expliquant comment une distance entre deux points, positionnés chacun sur deux plans parallèles, peut être l'inverse de la norme d'un vecteur normal au plan ?
personnellement, je ne trouve pas que le document soit beaucoup plus clair que la vidéo qui en est issue. Car on fait apparaître le \(\frac{1}{\Vert w \Vert}\) en disant "...quelques manipulations nous permettront d'arriver à ..." que on n'explique pas .
On peut donner une justification simple de l'apparition de \(\frac{1}{\Vert w \Vert}\) en considérant un calcul dans \(\mathbb{R}^3\) facilement généralisable ensuite à \(\mathbb{R}^n\).C'est une simple question de normalisation du vecteur directeur .
Si on considère l'équation classique d'un plan de l'espace usuel, \(ax+by+cx+d=0\), on sait ( ... où on devrait savoir que )
1-un vecteur normal au plan est le vecteur de composantes \((a,b,c)\) c'est le vecteur \(w\) avec \(\Vert w \Vert =\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
2-la distance d'un point \(x_0,y_0,z_0\) à ce plan est donnée par \(\frac{ax_0+by_0+cx_0+d}{ \Vert w \Vert }\) mais \(w\) n'est pas en général un vecteur unité et on divise donc par \( \Vert w \Vert \) pour obtenir ce vecteur unité de composantes \((\frac{a}{\Vert w \Vert},\frac{b}{\Vert w \Vert}, \frac{c}{\Vert w \Vert})\) car la distance doit évidemment se mesurer selon un vecteur unité.
Si on considère maintenant les deux plans symétriques par rapport au point, le second d'équation d'équation \(ax+by+cx-d=0\) et par différence des deux expressions, on voit bien apparaître \(\frac{2d}{\Vert w \Vert} \) donc la distance cherchée est bien inversement proportionnelle à la norme du vecteur normal ( dans le document on fixe \(d=\pm 1\) sans perte de généralité).
Cette variation inverse est assez logique intuitivement. Si un vecteur \(w\) sert d'étalon de mesure, plus grande est sa longueur , plus petit sera le nombre exprimant la distance selon cet étalon !
- Edité par Sennacherib 6 août 2019 à 15:19:01
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Merci cvanaret pour l'indication... Mais je viens justement à cause de l'absence d'explication sur cette page.
Merci Sennacherib.
Je suis bête... Je n'ai pas pensé à reprendre les choses depuis la base : la distance d'un point à un plan... Et cela marche effectivement. Merci pour l'explication intuitive avec l'étalon.
(P.S. : pense à éditer ton message et à ajouter "= 0" pour les deux équations de plan que tu donnes )
Je viens de comprendre aussi ce qui m'avait mis dans l'erreur : le d = + ou - 1...
La proportionnalité inverse, ok mais si les plans étaient plus loin ou plus près, alors que le vecteur normal ne changeait pas : comment expliquer une distance qui varie avec 2 / norme de w ?
Mais effectivement, il ne faut pas oublier, comme tu (Sennacherib) le signales très justement grâce à ta démonstration générale, que le numérateur n'est pas 2 mais bien 2 d, et dépend donc bien de la position des plans.
(P.S. : dsl, je voulais aussi te signal le R puissance n à la place de R puissance 3, mais tu l'as vu et corrigé, donc tout roule. Merci encore d'avoir pris le temps de proposer une explication)
Largeur d'une marge dans un SVM
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