Je viens de rencontrer une question sur la dérivée n-ième de la fonction f(x)=ln(1+x^2)  à un sujet d'Examen que J'arrive pas à résoudre ! 
Comment Dois-je faire Sachant que J'ai Essayé de tirer une Formule de récurrence mais en vain ! 
Et Merci infiniment ..

HELLo. Que trouve tu pour f' , f''  et f''' ?

Bonjour !

pour f'(x)=2x/(1+x^2) >>> On peut Faire une Décomposion en élèments simples de f' ça va donner 1/(x+i) + 1/(x-i) et faire la somme des deux dérivées n-ièmes , Pour Revenir au dérivée n-ième de la Fonction f il suffit d'intégrer et de Démontrer la Formule aboutie par Récurrence ! 

>> la Formule à intégrer est dans C 

Si quelqu'un a une autre idée qu'il la propose ... 

Merci D'avance 

Pour une dérivée énième, on peut penser à la formule de Leibnitz, \((fg)^n\) se développant selon la formule du binôme mais ici avec \(f=2x\) et \(g=\dfrac{1}{x^2+1}\), cela n'amène aucune simplification puisque on doit calculer la dérivée  énième de  \(g=\dfrac{1}{x^2+1}\) ce qui nous ramène au même problème.
Donc pour ma part, je ne vois pas trop autre chose que la décomposition en éléments simples que tu indiques. La dérivée  énième pour chaque fraction simple est bien connue, la seule difficulté étant de mettre sous une forme réelle le terme \(P_n(x)= (x+i)^n+(x-i)^n \) qui apparaît au numérateur.
C'est un exercice sur les complexes où on est amené à factoriser en cherchant  les \(n\) racines de \(P(x)\) qui sont réelles et quelque chose comme \(x=\tan(\dfrac{k\pi}{n})  \) , (à vérifier je n'ai pas refait le calcul, je parle " de mémoire".     la forme exacte de \(P(x)\) doit dépendre aussi il me semble de la parité de \(n\))

@Sennacherib : je pense que \(P_n(x)\) devait plutôt être donné sous forme d'une somme grâce au binôme de newton.

Mais ça m'apparaissais amusant de chercher les racines comme tu l'as proposé, et en identifiant P(x) sous forme de produit de (x - tan(..)) au binôme, on peut montrer que :

si n est impair,

\[ \prod_{k=1}^{n-1} \tan(k \frac{\pi}{n}) = n (-1)^{\frac{n-1}{2}}\] (n ou -n)

et si n est pair,
\[\prod_{k=1}^{n} \tan(\frac{\pi}{2n} + k \frac{\pi}{n}) = (-1)^{\frac{n}{2}}\] (1 ou -1)

plutôt sympa

Je suis le roi du hors sujet.

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Edité par moc_oo 15 janvier 2018 à 19:01:13