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Les exercices d'olympiade

les plus tordus !!

    4 décembre 2010 à 23:49:36

    Salut tout le monde :)

    Bienvenus dans ce topic consacré aux exercices d'olympiades; ici vous trouverez des exercices classé -difficile- et pas mal de défis qui n'attendent qu'a être relevés ;) , ne vous laissez pas intimidé par le titre car ces exercices reste tout de même résoluble, la seule chose qui les différencie des autre exercice normaux c'est qu'un exercice d'olympiade a une astuce ou un secret qu'il faut trouvez, des que vous trouvez l'astuce tous ce qui vient après se dévoile tout seul, mais ça n’empêche qu'il faut beaucoup de concentration un bon raisonnement, sans manquer d'intelligence pour des démonstration subtile et ingénieuse, je vous laisse donc, amusez vous bien ^^ .

    PS: Si vous voulez proposer un exercice, veuillez organiser la réponse a ce sujet en respectant les consignes suivantes :
    • Mentionner le titre( s'il en a bien-sûr).
    • Bien expliquer l'énoncée.
    • Écrire la référence si vous la trouvez bien-sûr( année etc...).
    • Nous considérons un certain délai maximale pour chaque exercice, nous ne resterons donc pas sur le même exercice plus d'une semaine ou presque .




    Voici dernièrement un tableau regroupant tous les exercices du topic, comme ça vous n'aurez pas a parcourir <math>\(n\)</math> pages pour trouver un exercice qui vous plait. MERCI ÉNORMÉMENT A jAlon de m'avoir beaucoup aidé dans le tableau d'ailleurs , c'était son idée ;) .


    Titre (ou sujet) Énoncé Année, référence
    Inégalités http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5684918 P6 IMO 1983, Paris (France)
    Distance entre deux points de l'espace http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5687787
    Résolutions de systèmes dans <math>\(\mathbb{R}^3\)</math> http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5688323
    Un rationnel : somme de cubes http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5692609 OMI, problème classé A+
    Une inégalité http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5700187
    Vitesse de fourmis http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5705524
    Mesure d'angle dans un triangle http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5708029 Zhidkov Sergeii
    Problème d'aire de triangle http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5715749
    Aire de quadrilatère http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5716117
    Inégalités avec le périmètre d'un triangle http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5740967
    Irrationalité d'une somme de racines http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5741578
    (Pas de titre) http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5749420
    Le périmètre d'un rectangle et la surface d'un carré http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5754141
    Problème de géométrie http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5770365
    Résolution d'une équation http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5783834
    Inégalité des médianes et du périmètre et inégalité arithmétique http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5795753
    Probabilités http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5828483
    Encore une inégalité http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5849189
    Inégalité http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5857416
    La partie entière d'un nombre http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5859137
    Inégalité II http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5865377
    Inégalité le retour ! http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5870159
    Inégalité http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5873243 Cezar Lupu, Romania 2005
    Surface d'un triangle et d'un parallélogramme http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5897064
    L'énigme des sept garçons http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5930142
    Des fonctions http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5933994
    Des fonctions un peu bizarres http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5956276
    Valeur maximale d'un nombre http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5958176
    Arithmétique http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5964551
    Trouvez la bonne fonction ! http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5971509
    Trouvez l'entier qui a été retiré ! http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5987808
    Démontrez que l'élève a tort http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5989593
    Un point fixe http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r5996476
    Une solution rationnelle http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6015239
    Un petit exercice de dénombrement http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6020998
    Trouver une suite http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6034536
    Trouvez le centre de gravité http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6034762
    (Pas de titre) http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6035806
    La forêt du baron de Munchhausen http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6050746
    Nombre de triangle et de carré ! http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6056656

    Valeur minimale
    http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6059842
    Une fonction périodique http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6067410
    Composition de fonctions http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6068960
    Un peu de géométrie http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6072443
    Dans un musée (Dénombrement) http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6078289
    Le nombre de coté d'un polygone http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6086223
    Équation http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6087875
    Carreler un échiquier- http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6091448
    Le nombre de murs faits par des briques (Dénombrement) http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6095517
    Équivalence de surface http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6096058

    Les points d'un cercle
    http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6108006
    Une équation fonctionnelle http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6125951
    Fraction irréductible http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6132029 premières olympiades internationnales (en 1959)
    Équation trigonométrique http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6132291
    Géométrie I http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6146472
    carré parfait http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] tml#r6152686-
    Fonction polynôme - http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6170161
    Arithmétique http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6161393
    Inégalité - http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] tml#r6170297-
    Sans titre !( arithmétique ) http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] tml#r6179198-
    Nombre de diviseurs http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6181753
    Encore l'arithmétique ! -http://www.siteduzero.com/forum-83-586857-p24-les-exercices-d-olympiade.html#r6183913
    carré d'entier -http://www.siteduzero.com/forum-83-586857-p24-les-exercices-d-olympiade.html#r6194547
    Inégalité http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6200417 SA-Austrian training camp 2009
    Somme des chiffres -http://www.siteduzero.com/forum-83-586857-p25-les-exercices-d-olympiade.html#r6202131 olympiades internationales de 1975
    La sphère ! http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] tml#r6210548-

    Inégalité n°1
    http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6240383
    Valeur minimale http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6247654
    Ascenseurs http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] tml#r6248926-
    Système n°1 http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6258607
    Nouveau problème: http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6259545
    Équation http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6270923
    Géométrie le retour ! http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6275448
    Problème d'arithmétique http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6301572
    Encore de l'arithmétique ^^ http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6310967
    Inégalité http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6319968
    Non-appartenance a <math>\(\mathbb{N}\)</math> http://www.siteduzero.com/forum-83-586 [...] html#r6362344



    J'ouvre donc les cérémonies :

    une inégalité



    Démontrer que :
    <math>\(2010 < \frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{2010^2 + 1}{2010^2 - 1} < 2010 + \frac{1}{2}\)</math>
    Bonne chance ^^ .
    OM Maroc 2012


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      5 décembre 2010 à 0:58:13

      Sympa le problème! :)


      Pour la première inégalité:

      regardons les 3 premiers termes: <math>\(\frac{2^2+1}{2^2-1}+\frac{3^2+1}{3^2-1}+\frac{4^2+1}{4^2-1}=\frac{5}{3}+\frac{10}{8}+\frac{17}{15}=\frac{486}{120}>4\)</math>
      Il reste <math>\(2010-4=2006\)</math> termes chacun plus grand que 1.
      => <math>\(\sum{...} > 4+2006 = 2010\)</math>


      Pour la deuxième inégalité:

      on sait que: <math>\(\frac{n^2+1}{n^2-1}=\frac{n^2-1+2}{n^2-1}= 1 + \frac{2}{n^2-1}\)</math> et on remarque que:<math>\(\frac{2}{n^2-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\)</math>

      => <math>\(\sum{...} = \sum_2^{2010}{1+\frac{2}{n^2-1}}= 2009+\sum_2^{2010}{\frac{2}{n^2-1}}=2009+\sum_2^{2010}{(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})}=2009+ (1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2010-1}-\frac{1}{2010+1}) < 2009+\frac{3}{2}=2010+\frac{1}{2}\)</math>

      cqfd! =)

      On en fait un post à question d'olympiade?? :p

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        5 décembre 2010 à 1:25:12

        Groumpf! Qqun a trouvé avant moi :p Et c'est joli.

        Je me suis cassé la tête dans une autre voie, mais la piste est intéressante. Au lieu de voir (N'dîdju!) que <math>\(\frac{2}{n^2-1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\)</math>, j'ai simplifié avec <math>\(\frac{1}{n^2-1} = \frac{1}{(n-1)(n+1)}\)</math>.
        Je me suis du coup retrouvé à devoir prouver que <math>\(\sum_{k=1}^{2009} \frac{1}{k(k+2)} < \frac{3}{4}\)</math>. En cherchant un peu, il s'avère que <math>\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{3}{4}\)</math>. Mais je n'ai pas trouvé comment le montrer.

        Encore plus fort, en cherchant un bout sur Wolfram Alpha, j'ai découvert que si <math>\(\ell\)</math> est un entier alors
        <math>\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+\ell)} = \frac{H_\ell}{\ell}\)</math>
        où <math>\(H_\ell = \sum_{m=1}^\ell \frac{1}{m}\)</math> est le <math>\(\ell\)</math>-ème nombre harmonique.

        C'est sympa comme résultat ^^
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        Je ne suis responsable que de ce que je dis, pas de ce que vous comprenez... - /!\ Négligences de sécurité sur OpenClassrooms /!\
          5 décembre 2010 à 3:50:49

          Citation : Caduchon

          En cherchant un peu, il s'avère que <math>\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{3}{4}\)</math>. Mais je n'ai pas trouvé comment le montrer.



          Cela résulte d'un simple télescopage : <math>\(\frac{1}{k(k+2)} =\frac 12\left( \frac 1k-\frac{1}{k+2}\right)}\)</math>
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            5 décembre 2010 à 10:24:08

            Tant qu'on est dans les inégalités :)
            Soient <math>\(a, b, c\)</math> les longueurs des trois côtés d'un triangle. Démontrer que
            <math>\(a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0\)</math>
            P6 IMO 1983, Paris (France).

            Ne vous laissez pas impressionner par le P6 et le IMO et n'allez pas voir la solution, si vous arrivez à vous débarrasser de la condition du triangle, il est assez faisable.
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              5 décembre 2010 à 11:19:51

              Un P6 de 1983 ça doit encore aller. C'est pas comme les P6 de maintenant ^^
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              Je ne suis responsable que de ce que je dis, pas de ce que vous comprenez... - /!\ Négligences de sécurité sur OpenClassrooms /!\
                5 décembre 2010 à 15:00:27

                Citation : Typen


                Soient <math>\(a, b, c\)</math> les longueurs des trois côtés d'un triangle. Démontrer que
                <math>\(a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0\)</math>

                P6 IMO 1983, Paris (France).


                Si vous arrivez à vous débarrasser de la condition du triangle, il est assez faisable.



                Sympa l'indice! :D
                J'ai pas le temps de faire des longs calculs, mais à mon avis si on pose:

                a = x + y
                b = y + z
                c = x + z (vu que c'est un triangle ^^)

                Il reste à développer l'expression et utiliser Cauchy-Schwartz avec les bons vecteurs ou une autre inégalité sympatoche...
                Je vais essayer de le faire dans le train, si ça marche et que le train ne déraille pas à cause de la neige, je posterai ma solution en soirée...
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                  5 décembre 2010 à 15:35:42

                  Citation : candide

                  Citation : Caduchon

                  En cherchant un peu, il s'avère que <math>\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{3}{4}\)</math>. Mais je n'ai pas trouvé comment le montrer.



                  Cela résulte d'un simple télescopage : <math>\(\frac{1}{k(k+2)} =\frac 12\left( \frac 1k-\frac{1}{k+2}\right)}\)</math>



                  Tout en sachant que <math>\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = ln(n) + \gamma + \epsilon(n)\)</math>

                  Dans ton cas, lorsque <math>\(n\rightarrow \infty\)</math> les <math>\(\gamma\)</math> s'en vont, les <math>\(\epsilon\)</math> tendent vers 0 (cf leur définition ...), la différence des <math>\(ln\)</math> tend vers 0 et il te reste sur les bras du <math>\(\frac 12\left(-(-1-\frac12)\right)\)</math> ie cqfd :) !

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                    5 décembre 2010 à 15:59:39

                    Citation : Jo-Jo

                    Citation : Typen


                    Soient <math>\(a, b, c\)</math> les longueurs des trois côtés d'un triangle. Démontrer que
                    <math>\(a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0\)</math>

                    P6 IMO 1983, Paris (France).


                    Si vous arrivez à vous débarrasser de la condition du triangle, il est assez faisable.



                    Sympa l'indice! :D
                    J'ai pas le temps de faire des longs calculs, mais à mon avis si on pose:

                    a = x + y
                    b = y + z
                    c = x + z (vu que c'est un triangle ^^)

                    Il reste à développer l'expression et utiliser Cauchy-Schwartz avec les bons vecteurs ou une autre inégalité sympatoche...
                    Je vais essayer de le faire dans le train, si ça marche et que le train ne déraille pas à cause de la neige, je posterai ma solution en soirée...


                    En effet, et pour ceux qui ne connaissent pas, ça s'appelle la transformation de Ravi, ça découle directement du centre du cercle inscrit étant l'intersection des bissectrices (ensemble de points à égale distance des côtés qui forment l'angle qu'il bissecte ;) )
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                      5 décembre 2010 à 19:25:02

                      Salut :) .
                      a vraie dire vos réponse était toutes remplie de <math>\(\Sigma\)</math>
                      j'ai juste jeté un coup d'œil furtif dessus ;) .
                      Pour la réponse , d'abords :
                      -Je ne suis qu'en deuxième année du lycée, et on a pas encore étudier beaucoup de choses qui nous faciliterait la tache dans cet exos.
                      -Pendant l'épreuve j'ai perdue un peu de temps avant de trouver le droit chemin .
                      ma solution ressemble a ca :
                      Démontrer que :
                      <math>\(2010 < \frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{2010^2 + 1}{2010^2 - 1} < 2010\)</math>
                      Calculons A:

                      <math>\(\mathrm{A}=\frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{2010^2 + 1}{2010^2 - 1}\)</math>

                      <math>\(\mathrm{A}=\frac{2^2 - 1}{2^2 - 1} + \frac{2}{2^2 - 1}+ \frac{3^2 - 1}{3^2 - 1}+ \frac{2}{3^2 - 1}+\cdots + \frac{2010^2 - 1}{2010^2 - 1}+ \frac{2}{2010^2 - 1}\)</math>

                      <math>\(\mathrm{A}=2009+\frac{2}{2^2 - 1} + \frac{2}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{2}{2010^2 - 1}\)</math>

                      <math>\(\mathrm{A}-2009=2 \times \left( \frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{1}{2010^2 - 1} \right)\)</math>

                      <math>\(\mathrm{A}-2009=2 \times \left( \frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{3^2 - 1}+\frac{1}{4^2 - 1}+\frac{1}{5^2 - 1}+ \cdots + \frac{1}{2010^2 - 1} \right)\)</math>

                      <math>\(\mathrm{A}-2009=2 \times \left( \frac{1}{(2+1)(2-1)} + \frac{1}{3+1)(3-1)}+\frac{1}{4+1)(4-1)}+\frac{1}{5+1)(5-1)}+ \cdots + \frac{1}{2010+1)(2010-1)} \right)\)</math>

                      <math>\(\mathrm{A}-2009=2 \times \left( \frac{1}{(3)(1)} + \frac{1}{(4)(2)}+\frac{1}{(5)(3)}+\frac{1}{(6)(4)}+ \cdots + \frac{1}{(2011)(2019)} \right)\)</math>

                      Là on s'arrête et on calcule :
                      <math>\(\mathrm{B}= \left( \frac{1}{(1)(3)} + \frac{1}{(3)(5)}+\frac{1}{(5)(7)}+\frac{1}{(7)(9)}+ \cdots + \frac{1}{(2009)(2011)} \right)\)</math>
                      je remarque que :

                      <math>\(\frac{1}{(3)(5)}=\frac{1}{(2)(3)}-\frac{1}{(2)(5)}= \frac{1}{6}-\frac{1}{10}\)</math>

                      <math>\(\frac{1}{(5)(7)}= \frac{1}{10}-\frac{1}{14}\)</math>

                      <math>\(\frac{1}{(7)(9)}= \frac{1}{14}-\frac{1}{18}\)</math>
                      <math>\(|\)</math>
                      <math>\(|\)</math>
                      <math>\(|\)</math>
                      <math>\(\frac{1}{(2009)(2011)}= \frac{1}{2\times2009}-\frac{1}{2\times2011}\)</math>
                      donc :

                      <math>\(\mathrm{B}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{10} + \frac{1}{10}-\frac{1}{14} + \frac{1}{14}-\frac{1}{18} \cdots - \frac{1}{2\times2009} + \frac{1}{2\times2009}-\frac{1}{2\times2011} \right)\)</math>
                      <math>\(\mathrm{B}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2\times2011}\)</math>

                      de même pour les nombres paires on trouve :

                      <math>\(\mathrm{C}= \left( \frac{1}{(2)(4)} + \frac{1}{(4)(6)}+\frac{1}{(6)(8)}+\frac{1}{(8)(10)}+ \cdots + \frac{1}{(2008)(2010)} \right)\)</math>

                      on a :

                      <math>\(\frac{1}{(2)(4)}=\frac{1}{(2)(2)}-\frac{1}{(2)(4)}= \frac{1}{4}-\frac{1}{8}\)</math>

                      <math>\(\frac{1}{(4)(6)}= \frac{1}{8}-\frac{1}{12}\)</math>

                      <math>\(\frac{1}{(6)(8)}= \frac{1}{12}-\frac{1}{16}\)</math>
                      <math>\(|\)</math>
                      <math>\(|\)</math>
                      <math>\(|\)</math>
                      <math>\(\frac{1}{(2008)(2010)}= \frac{1}{2\times2008}-\frac{1}{2\times2010}\)</math>

                      donc la aussi :

                      <math>\(\mathrm{B}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8} + \frac{1}{8}-\frac{1}{12} + \frac{1}{12}-\frac{1}{16} \cdots - \frac{1}{2\times2008} + \frac{1}{2\times2008}-\frac{1}{2\times2010} \right)\)</math>

                      <math>\(\mathrm{C}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\times2010}\)</math>

                      et donc :

                      <math>\(\mathrm{A}-2009=2 \times \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2\times2011}+ \frac{1}{4}-\frac{1}{2\times2010}+ \right)\)</math>

                      <math>\(\mathrm{A}=1-\frac{1}{2011}+ \frac{1}{2}-\frac{1}{\times2010}+2009\)</math>

                      <math>\(\mathrm{A}=2010-\frac{1}{2011}+ \frac{1}{2}-\frac{1}{\times2010}\)</math>

                      et nous savons que :

                      <math>\(2010+\frac{1}{2} - x < 2010+\frac{1}{2}\)</math> quelque soit x dont <math>\(\mathbb{R}^*\)</math>
                      donc <math>\(2010+\frac{1}{2} -\frac{1}{\times2010}-\frac{1}{2011} < 2010+\frac{1}{2}\)</math>
                      ce qui veut dire que :
                      <math>\(\mathrm{A} < 2010+\frac{1}{2}\)</math> et que :
                      <math>\(\frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{2010^2 + 1}{2010^2 - 1} < 2010\)</math>

                      Si on calcule <math>\(= 0,49...\)</math> donc :
                      <math>\(0<\frac{1}{2}-\frac{1}{2011}-\frac{1}{\times2010}\)</math>
                      <math>\(2010<2010+\frac{1}{2}-\frac{1}{2011}-\frac{1}{\times2010}\)</math>
                      <math>\(2010<\mathrm{A}\)</math> ==> <math>\(2010< \frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{2010^2 + 1}{2010^2 - 1}\)</math>

                      et donc :

                      <math>\(2010 < \frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{2010^2 + 1}{2010^2 - 1} < 2010 + \frac{1}{2}\)</math>

                      CQFD
                      :) .
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                        5 décembre 2010 à 19:33:21

                        Citation : elionor


                        et donc :

                        <math>\(2010 < \frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1}+ \cdots + \frac{2010^2 + 1}{2010^2 - 1} < 2010\)</math>

                        CQFD
                        :) .



                        Ha vraiment ? ;p
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                          5 décembre 2010 à 19:45:52

                          Haha si tu as effectivement écrit cette dernière ligne sur ta copie, c'est un magistral epic fail!!! :p
                          Très bonne solution sinon.

                          Je relance avec un exercice bien plus simple qu'un problème 6 d'IMO, en l’occurrence un belge de 2005 je crois:
                          Y a-t-il 2 points de l'espace à coordonnées rationnelles séparées d'une distance égale à <math>\(\sqrt{7}\)</math>?
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                            5 décembre 2010 à 19:59:33


                            peux-tu expliquer l'énonces autrement ^^
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                              5 décembre 2010 à 20:27:22

                              Bien sûr!
                              Enfin, je vais essayer:
                              Dans l'espace on détermine un point par ses coordonnées en x, y et z. Par exemple: (1,-1,3) est un point.
                              Supposons qu'on regarde tous les points de l'espace dont les coordonnées sont rationnelles. Donc de la forme <math>\(P = (\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f})\)</math> où a,b,c,d,e,f sont des entiers.
                              Dans cet ensemble de point, y en a-t-il 2 qui sont séparés par la distance <math>\(\sqrt7\)</math>.

                              (Pour rappel, si on calcul la distance entre les points (a,b,c) et (d,e,f), la formule est <math>\(d=\sqrt{(d-a)^2+(e-b)^2+(f-c)^2}\)</math>)

                              C'est plus clair?

                              Si c'est un peu trop compliquer, le problème est presque le même si tu travailles dans le plan euclidien. Tu peux le résoudre dans le plan si tu veux. :)
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                                5 décembre 2010 à 20:42:12

                                Dans l'espace, la distance entre deux points <math>\(A(x_A,y_A,z_A)\)</math> et <math>\(B(x_B,y_B,z_B)\)</math> vaut <math>\(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)</math>. Dans notre cas, <math>\(x_B-x_A\)</math> et les deux autres sont des réels, car une différence de deux réels, et peuvent donc s'écrire sous la forme d'un rapport d'entiers. On a donc l'équation :
                                <math>\(\sqrt{\frac{X^2}{A^2}+\frac{Y^2}{B^2}+\frac{Z^2}{C^2}} = \sqrt{7} \Longleftrightarrow \frac{X^2}{A^2}+\frac{Y^2}{B^2}+\frac{Z^2}{C^2} = 7\)</math>

                                <math>\(\Longleftrightarrow \frac{X^2B^2C^2+Y^2A^2C^2+Z^2B^2C^2}{A^2B^2C^2} = 7 \Longleftrightarrow (XBC)^2+(YAC)^2+(ZAB)^2 = 7\times(ABC)^2\)</math>

                                De plus :
                                <math>\((XBC)^2 = 7\times (ABC)^2 - (YAC)^2 - (ZAB)^2 = A^2(7\times (BC)^2 - (YC)^2 - (ZB)^2)\)</math> Donc <math>\((XBC)^2\)</math> est divisible par <math>\(A^2\)</math>.
                                Mais puisqu'on peut établir le même raisonnement pour <math>\((YAC)^2\)</math> et <math>\((ZAB)^2\)</math>, on en déduit qu'ils sont tous trois divisibles par <math>\((ABC)^2\)</math>.

                                Donc, puisque le quotient de deux carrés (divisibles) est un carré, on obtient :
                                <math>\(7 = \frac{X^2B^2C^2+Y^2A^2C^2+Z^2B^2C^2}{A^2B^2C^2} = D^2 + E^2 + F^2\)</math>
                                où D, E et F sont des entiers quelconques. Ce qui est impossible car les seuls carrés inférieurs à 7 sont 0, 1 et 4, et il est impossible d'obtenir 7 en les additionnant.


                                Par conséquent, il est impossible d'avoir deux points de l'espace à coordonnées rationnelles séparées d'une distance égale à <math>\(\sqrt{7}\)</math>

                                Edit : Yes ! 56 minutes pour solutionner et rédiger, ça rentre dans les temps ! C'était niveau Mini, Midi ou Maxi ? Re-edit : ne cherche plus, j'ai été voir sur le site, et c'est la question 2 en maxi 2005. La solution proposée sur le site est légèrement plus longue mais, je pense, beaucoup plus claire ! :D (la solution)
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                                  5 décembre 2010 à 21:07:26

                                  Yep ça m'a l'air très bon.
                                  C'était un problème de maxi qui n'avait pas été résolu à l'époque, je suis impressionné qu'à 14 ans tu y arrives. Bravo!
                                  Next?
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                                    5 décembre 2010 à 23:45:51

                                    Je propose a mon tour un exos d'olympiade il est assez facile :
                                    Résoudre dans <math>\(\mathbb{R}^3\)</math> le sytème suivant :

                                    • <math>\(\sqrt {x^2-y}=z-1\)</math>
                                    • <math>\(\sqrt {y^2-z}=x-1\)</math>
                                    • <math>\(\sqrt {z^2-x}=y-1\)</math>
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                                      6 décembre 2010 à 13:56:20

                                      Citation : By.The.Hell

                                      Tout en sachant que <math>\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = ln(n) + \gamma + \epsilon(n)\)</math>

                                      Dans ton cas, lorsque <math>\(n\rightarrow \infty\)</math> les <math>\(\gamma\)</math> s'en vont, les <math>\(\epsilon\)</math> tendent vers 0 (cf leur définition ...), la différence des <math>\(ln\)</math> tend vers 0 et il te reste sur les bras du <math>\(\frac 12\left(-(-1-\frac12)\right)\)</math> ie cqfd :) !


                                      Euh non, il n'y a absolument pas besoin d'un équivalent de la série harmonique.
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                                        6 décembre 2010 à 17:25:53

                                        Citation : Jo-Jo

                                        Citation : Typen


                                        Soient <math>\(a, b, c\)</math> les longueurs des trois côtés d'un triangle. Démontrer que
                                        <math>\(a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0\)</math>

                                        P6 IMO 1983, Paris (France).


                                        Si vous arrivez à vous débarrasser de la condition du triangle, il est assez faisable.



                                        Sympa l'indice! :D
                                        J'ai pas le temps de faire des longs calculs, mais à mon avis si on pose:

                                        a = x + y
                                        b = y + z
                                        c = x + z (vu que c'est un triangle ^^)

                                        Il reste à développer l'expression et utiliser Cauchy-Schwartz avec les bons vecteurs ou une autre inégalité sympatoche...
                                        Je vais essayer de le faire dans le train, si ça marche et que le train ne déraille pas à cause de la neige, je posterai ma solution en soirée...


                                        Bon allez, comme je vois que tout le monde a abandonné, ça se développe comme ça, <math>\(x, y, z \in \mathbb{R}^+\)</math>
                                        <math>\(xy^3 + yz^3 + zx^3 \geq x^2yz + xy^2z + xyz^2\)</math>
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                                          6 décembre 2010 à 17:36:12

                                          Problème d'elionor :
                                          En effet, il n'était pas très compliqué... Quel niveau est-ce et dans quelle compétition ?
                                          • <math>\(\sqrt{x^2-y}=z-1 \Longleftrightarrow x^2-y=z^2-2z+1\)</math>
                                          • <math>\(\sqrt{y^2-z}=x-1 \Longleftrightarrow y^2-z=x^2-2x+1\)</math>
                                          • <math>\(\sqrt{z^2-x}=y-1 \Longleftrightarrow z^2-x=y^2-2y+1\)</math>

                                          (Conditions d'existence : <math>\(x^2-y\geq0\)</math>, <math>\(y^2-z\geq0\)</math> et <math>\(z^2-x\geq0\)</math>)

                                          En faisant la somme, on obtient <math>\(x^2+y^2+z^2-x-y-z=x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+3 \Longleftrightarrow x+y+z=3\)</math>

                                          Puisque les racines carrés sont positives :
                                          • <math>\(x-1\geq0 \Longleftrightarrow x\geq1\)</math>
                                          • <math>\(y-1\geq0 \Longleftrightarrow y\geq1\)</math>
                                          • <math>\(z-1\geq0 \Longleftrightarrow z\geq1\)</math>

                                          Si x, y ou z est supérieur à 1, leur somme sera plus grande que 3, donc ils valent tous 1, et ça respecte les conditions d'existence
                                          L'ensemble des solutions est {(1,1,1)}.

                                          Edit :

                                          Citation : Jo-Jo

                                          C'était un problème de maxi qui n'avait pas été résolu à l'époque, je suis impressionné qu'à 14 ans tu y arrives. Bravo!

                                          Merci !
                                          Ah bon, il n'avait pas été résolu ? Apparemment les stages de préparation OMI ont déjà un effet prononcé, après à peine 4 mois ! o_O Même si ça dépend souvent de l'inspiration qu'on a...
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                                            6 décembre 2010 à 19:32:50

                                            Citation : VictorJavAdore

                                            De plus :
                                            <math>\((XBC)^2 = 7\times (ABC)^2 - (YAC)^2 - (ZAB)^2 = A^2(7\times (BC)^2 - (YC)^2 - (ZB)^2)\)</math> Donc <math>\((XBC)^2\)</math> est divisible par 7.


                                            A² divise (XBC)², j'vois pas comment tu arrives à (XBC)² est divisible par 7.
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                                              6 décembre 2010 à 19:36:35

                                              Ah oui, c'est une erreur. Je voulais dire "est divisible par <math>\(A^2\)</math>". :-°
                                              Je corrige ça tout de suite !
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                                                6 décembre 2010 à 21:17:35

                                                Citation : By.The.Hell



                                                Tout en sachant que <math>\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = ln(n) + \gamma + \epsilon(n)\)</math>

                                                Dans ton cas, lorsque <math>\(n\rightarrow \infty\)</math> les <math>\(\gamma\)</math> s'en vont, les <math>\(\epsilon\)</math> tendent vers 0 (cf leur définition ...), la différence des <math>\(ln\)</math> tend vers 0




                                                Non, c'est beaucoup plus simple que ça :

                                                <math>\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} =\sum_{k=1}^{n}\frac 12\left( \frac 1k-\frac{1}{k+2}\right)}=\frac 34-\frac 12\left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)\)</math>
                                                • Partager sur Facebook
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                                                  6 décembre 2010 à 22:52:18

                                                  Salut ;
                                                  euh j'ai pensé a ta technique VictorJavAdore mais j'ai plutôt voulu utiliser une techniques bien plus sûr, donc comme tu as trouvé que :
                                                  <math>\(x+y+z=3\)</math> ==> <math>\(\sqrt {x^2-y}+\sqrt {y^2-z}+\sqrt {z^2-x} = x+z+y-3\)</math>

                                                  <math>\(\sqrt {x^2-y}+\sqrt {y^2-z}+\sqrt {z^2-x} =3-3\)</math>
                                                  <math>\(\sqrt {x^2-y}+\sqrt {y^2-z}+\sqrt {z^2-x} = 0\)</math> et puisque :
                                                  <math>\(\sqrt {x^2-y} \ge 0\)</math> et <math>\(\sqrt {y^2-z} \ge 0\)</math> et <math>\(\sqrt {z^2-x} \ge 0\)</math> donc :
                                                  • <math>\(\sqrt {x^2-y} = 0\)</math>
                                                  • <math>\(\sqrt {y^2-z}=0\)</math>
                                                  • <math>\(\sqrt {z^2-x} =0\)</math>


                                                  donc :

                                                  • <math>\(x^2=y\)</math>
                                                  • <math>\(y^2=z\)</math>
                                                  • <math>\(z^2=x\)</math>

                                                  et on résout ce système qui est assez facile ^^ .et <math>\(S=\{(1,1,1)\}\)</math>
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                                                    7 décembre 2010 à 11:34:52

                                                    J'ai un problème un peu plus costaud pour vous. Un problème d'OMI, classé A+ par le jury (trop difficile), mais superbe !

                                                    Montrer que tout rationnel <math>\(q\)</math> strictement positif peut s'écrire sous la forme <math>\(q = \frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\)</math> où <math>\(a,b,c,d\)</math> sont des entiers strictement positifs.

                                                    Amusez-vous bien :p
                                                    (Si vous le connaissez déjà, pas la peine de frimer avec votre solution ;) )
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                                                      7 décembre 2010 à 16:48:18

                                                      si q est un rationnel, il peut alors s'écrire sous la forme a/b . Après aucune idée :p .
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                                                        on peut définir e^3=(a+b)(a+b)(a+b), et donc e^3 = a^3+b^3
                                                        tout nombre entier positif élevé a une puissance n est toujours entier positif.
                                                        donc e^3 = f avec f entier positif.
                                                        De même pour c^3+d^3,
                                                        on peut donc trouver deux entiers positifs f et g tel que q=f/g

                                                        c'est vite fait, mais le principe est la
                                                        • Partager sur Facebook
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                                                          7 décembre 2010 à 18:01:59

                                                          Citation : luckyboss1

                                                          on peut définir e^3=(a+b)(a+b)(a+b), et donc e^3 = a^3+b^3



                                                          Redis-moi ça de face pour voir ! :p

                                                          <math>\((a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)</math>;)
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                                                            7 décembre 2010 à 18:21:59

                                                            ah oui, en effet j'ai un peu reflechi vite ^^
                                                            la honte :'(

                                                            enfin le raisonnement fonctionne quand meme
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                                                              7 décembre 2010 à 18:23:51

                                                              Citation : luckyboss1

                                                              enfin le raisonnement fonctionne quand meme



                                                              Non. C'est loin d'être aussi simple.
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                                                              Les exercices d'olympiade

                                                              × Après avoir cliqué sur "Répondre" vous serez invité à vous connecter pour que votre message soit publié.
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