Citation : Typen

Par l'inégalité de réordonnement,

C'est quoi ?

Citation : elionor

On peut bien démontrez ca différemment sans avoir a utiliser des théorèmes ou des relations qu'on a pas encore étudié

Tout à fait, et c'est pour ça que je vais proposer ta question dans un autre fil.

Citation : Caduchon

En tout cas, il est bien connu du jury des olympiades mathématiques internationales,

Et alors ? Ta façon de dire les choses ("il est bien connu que ..." sous -entendu "si vous ne le savez pas vous êtes un âne") pourrait être considérée comme condescendante.

Et puis, lis-bien ce qu'a écrit le PO :

Citation : elionor

Puisque personne jusqu'à présent n'as résolues l'exos précédant je propose un exos plus simple

Manifestement, il veut des solutions abordables et manifestement il sort du cadre strict des olympiades donc je pense qu'il faut en tenir compte.

Citation : Caduchon

La formulation "il est bien connu" est par ailleurs largement utilisée dans le monde de la recherche.

J'ai du mal à voir le rapport avec le sdz et même les olympiades.

Citation : Caduchon

Citer les chinois d'il y a 30 siècles chaque fois qu'on utilise un résultat mathématique...

Si, si on utilise le théorème chinois (les restes chinois), bien sûr qu'il faut le signaler. Et l'inégalité arithmético-géométrique est à mon avis relativement récente (quelques siècle je dirais, pas 30)

Citation : Caduchon

Cela dit, la preuve de Wikipedia que j'ai mentionné est un peu violente. C'est tuer une mouche avec un bazooka...

Ouais mais au moins eux ils démontrent le cas n=3.

Citation : Caduchon

Une démonstration plus longue, mais plus accessible:

Oui sauf que le cas n=2 est vraiment beaucoup plus simple que le cas n=3.

Citation : Caduchon

La preuve peut être étendue à n nombres, mais de mémoire je ne me souviens plus comment.
Ca ne doit pas être très compliqué à réaliser.

En tous cas, à ma connaissance, ton schéma pour n=2 ne va pas s'appliquer au cas général.

Il existe plusieurs preuves de l'inégalité arithmético-géométrique, j'en ai trois en tête, mais toutes sont plus ou moins astucieuses.

Pour n=3 on peut aussi la prouver en une ligne grâce à l'identité suivante :

Citation : ttthebest

Citation : Catsoulet

La démonstration de cette propriété requiert des notions qui ne sont pas abordés en terminal S voir en L1 de maths.

Ou pas, puisqu'on l'a démontré en cours en seconde, en utilisant le simple fait que le carré d'un réel est positif.

Nous attendons ta démonstration niveau seconde du cas n=3 (autre que l'identité que j'ai rappelée ci-dessus).

La démonstration n=3 peut se faire sans aucune connaissance mais c'est déjà plus difficile. Pour n=4 à mon avis c'est mort... Peut être qu'on peut s'en tirer par récurrence.

@Typen: Tu vérifies comment l'hypothèse d'ordonnance avant de l'appliquer ? C'est peut-etre simple, mais ca me saute quand même pas au yeux.

<hs>Les olympiades de maths dont vous parlez c'est à quel niveau scolaire qu'on peut y participer ?</hs>

Merci .

Citation : Tadzoa

Peut être qu'on peut s'en tirer par récurrence.

Ben alors bon courage !

Citation : Freedom

@Typen: Tu vérifies comment l'hypothèse d'ordonnance avant de l'appliquer ? C'est peut-etre simple, mais ca me saute quand même pas au yeux.

Soit <math>\(\theta(i)\)</math> tel que <math>\(a_{\theta(1)} \leq \ldots \leq a_{\theta(n)}\)</math>, il est évident que <math>\(\frac{1}{a_{\theta(n)}} \leq \ldots \leq \frac{1}{a_{\theta(1)}}\)</math>.
D'où, <math>\(\sum_{i=1}^n a_ib_i = \sum_{i=1}^n a_{\theta(i)}b_{\theta(i)}\)</math> la configuration donnant la somme minumum.

<Edit>Rien dit</Edit>

Citation : Jak_Ouille

<hs>Les olympiades de maths dont vous parlez c'est à quel niveau scolaire qu'on peut y participer ?</hs>

Merci .

Jusqu'à la rhéto, après, on est trop grand. Néanmoins, il est préférable de bien se préparer car sans de nombreux résultats, tes chances sont grandement diminuées.

Bonjour,
Voilà, un exercice d'olympiade que je trouve sympa. Niveau 1ereS il me semble.

Citation

Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long.

La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.

Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?

t'es sur que c'est niveau 1ere S parce que ca m'a pas l'air tres difficile surtout pour les 1ere S SI avec option mécanique

Je reconnais le sujet, c'est le premier des olympiades académiques de 1ere S d'il y a quelques années.

Citation : candide

Nous attendons ta démonstration niveau seconde du cas n=3 (autre que l'identité que j'ai rappelée ci-dessus).

Bon pour le cas n=2 c'est ce que j'avais dit (et c'est effectivement simple), et pour le cas n=3 c'était l'égalité que tu montres.

Citation : gralzik

Bonjour,
Voilà, un exercice d'olympiade que je trouve sympa. Niveau 1ereS il me semble.

Citation

Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long.

La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.

Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?

Faut se taper les trois équations :

Avec l'accélaration, la dérivée de la vitesse et l'accéleration étant constante, alors on primitive, et on obtient la vitesse, et en primitivant on à la distance. Plus qu'à remettre les données dans l'énoncé, et on devrait obtenir quelque chose de sympa.

Citation : ttthebest

et pour le cas n=3 c'était l'égalité que tu montres.

La preuve est facile une fois qu'on a l'identité mais la question est de savoir comment la personne qui veut résoudre va découvrir et construire cette identité, ça n'a absolument rien d'évident. Bref, cette méthode est une astuce et ne prouve pas que la résolution soit facile, bien au contraire. As-tu une solution (cas n=3) autre que celle cette identité miraculeuse ?

Citation : Catsoulet

Faut se taper les trois équations :

Avec l'accélaration, la dérivée de la vitesse et l'accéleration étant constante, alors on primitive, et on obtient la vitesse, et en primitivant on à la distance. Plus qu'à remettre les données dans l'énoncé, et on devrait obtenir quelque chose de sympa.

Ah, bon ?

Citation

Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long.

La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.

Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?

Citation : candide

Citation : ttthebest

et pour le cas n=3 c'était l'égalité que tu montres.

La preuve est facile une fois qu'on a l'identité mais la question est de savoir comment la personne qui veut résoudre va découvrir et construire cette identité, ça n'a absolument rien d'évident. Bref, cette méthode est une astuce et ne prouve pas que la résolution soit facile, bien au contraire. As-tu une solution (cas n=3) autre que celle cette identité miraculeuse ?

J'en ai posté une "sans propriété magique" ici : http://www.siteduzero.com/forum-83-588 [...] html#r5704940

Citation : elionor

Puisque personne jusqu'à présent n'as résolues l'exos précédant je propose un exos plus simple :

Une inégalité

Soit <math>\(\{ a,b,c\} \in \mathbb{R}^3_+\)</math> démontrez que :
Si <math>\(abc=1\)</math> alors <math>\(a+b+c \ge 3\)</math>

J'ai bien trouvé la solution sans avoir à utiliser aucune hypothèse ou autre théorème, Nous avons :

<math>\((\sqrt a - \sqrt {bc} )^2\ge 0\)</math> ==> <math>\(a+bc - 2\sqrt {abc} \ge 0\)</math>==> et puisque <math>\(1=abc=\sqrt{abc}\)</math> donc

<math>\(a+bc -2 \ge 0\)</math> ==> <math>\(a+bc \ge 2\)</math> de même en prouve que :

<math>\(b+ac\ge 2\)</math> et <math>\(c+ab \ge 2\)</math> et en faisant l'addition de chacune de ces inégalités on obtient :

<math>\(a+b+c + ab+ac+bc \ge 6\)</math> on multiplie par 2 ca donne la relation (*) :
<math>\((*) 2(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) \ge 12\)</math>

on a : <math>\((a-1)^2 \ge 0\)</math> donc <math>\(a^2 +1 -2a \ge 0\)</math>
soit <math>\(a^2+1 \ge 2a\)</math> et de même on prouve que :
<math>\(b^2+1 \ge 2b\)</math> et <math>\(c^2+1 \ge 2c\)</math>

La aussi en faisant l'addition de ces inégalité on trouve :

<math>\(a^2+b^2+c^2 + 3 \ge 2a+2b+2c\)</math>

on fait encore une fois l'addition de cette inégalité et de l'inégalité (*) et on trouve :

<math>\(2(a+b+c)+2(ab+bc+ca) + a^2+b^2+c^2 + 3 \ge 12 + 2(a+b+c)\)</math> ca fait donc :
<math>\(2(a+b+c)-2(a+b+c) + a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \ge 12-3\)</math>

<math>\(a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \ge 9\)</math> et sachant que :
<math>\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+ 2(ab+bc+ca)\)</math>

donc l'inégalité devient la suivante :

<math>\((a+b+c)^2 \ge 9\)</math> ==> <math>\(\sqrt {(a+b+c)^2} \ge \sqrt 9\)</math>
et donc :

<math>\(a+b+c \ge 3\)</math> je l'ai encore démontré d'une autre façon que je poterais après , vous voyez bien qu'on a pas besoin de théorème pour faire prouver l'inégalité

Next Alors ??

Citation : spider-mario

Citation : Catsoulet

Faut se taper les trois équations :

Avec l'accélaration, la dérivée de la vitesse et l'accéleration étant constante, alors on primitive, et on obtient la vitesse, et en primitivant on à la distance. Plus qu'à remettre les données dans l'énoncé, et on devrait obtenir quelque chose de sympa.

Ah, bon ?

Citation

Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long.

La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.

Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?

Si les fourmis se déplacent à vitesse constante, alors la dernière fourmi doit accélérer pour rejoindre la première fourmi. Et de même, au retour elle doit ralentir.

Sans-doute est-ce un modèle simplifié ou l'on admet que la fourmi passe immédiatement d'une vitesse constante à une vitesse constante supérieure, sans vitesse intermédiaire.
Une accélération infinie ? ...

C'est pas faux !

Citation : elionor

Citation : elionor

Puisque personne jusqu'à présent n'as résolues l'exos précédant je propose un exos plus simple :

Une inégalité

Soit <math>\(\{ a,b,c\} \in \mathbb{R}^3_+\)</math> démontrez que :
Si <math>\(abc=1\)</math> alors <math>\(a+b+c \ge 3\)</math>

J'ai bien trouvé la solution sans avoir à utiliser aucune hypothèse ou autre théorème, Nous avons :

<math>\((\sqrt a - \sqrt {bc} )^2\ge 0\)</math> ==> <math>\(a+bc - 2\sqrt {abc} \ge 0\)</math>==> et puisque <math>\(1=abc=\sqrt{abc}\)</math> donc

<math>\(a+bc -2 \ge 0\)</math> ==> <math>\(a+bc \ge 2\)</math> de même en prouve que :

<math>\(b+ac\ge 2\)</math> et <math>\(c+ab \ge 2\)</math> et en faisant l'addition de chacune de ces inégalités on obtient :

<math>\(a+b+c + ab+ac+bc \ge 6\)</math> on multiplie par 2 ca donne la relation (*) :
<math>\((*) 2(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) \ge 12\)</math>

on a : <math>\((a-1)^2 \ge 0\)</math> donc <math>\(a^2 +1 -2a \ge 0\)</math>
soit <math>\(a^2+1 \ge 2a\)</math> et de même on prouve que :
<math>\(b^2+1 \ge 2b\)</math> et <math>\(c^2+1 \ge 2c\)</math>

La aussi en faisant l'addition de ces inégalité on trouve :

<math>\(a^2+b^2+c^2 + 3 \ge 2a+2b+2c\)</math>

on fait encore une fois l'addition de cette inégalité et de l'inégalité (*) et on trouve :

<math>\(2(a+b+c)+2(ab+bc+ca) + a^2+b^2+c^2 + 3 \ge 12 + 2(a+b+c)\)</math> ca fait donc :
<math>\(2(a+b+c)-2(a+b+c) + a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \ge 12-3\)</math>

<math>\(a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \ge 9\)</math> et sachant que :
<math>\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+ 2(ab+bc+ca)\)</math>

donc l'inégalité devient la suivante :

<math>\((a+b+c)^2 \ge 9\)</math> ==> <math>\(\sqrt {(a+b+c)^2} \ge \sqrt 9\)</math>
et donc :

<math>\(a+b+c \ge 3\)</math> je l'ai encore démontré d'une autre façon que je poterais après , vous voyez bien qu'on a pas besoin de théorème pour faire prouver l'inégalité

Next Alors ??

Très élégant, bravo !

Citation : Catsoulet

Faut se taper les trois équations :

Avec l'accélaration, la dérivée de la vitesse et l'accéleration étant constante, alors on primitive, et on obtient la vitesse, et en primitivant on à la distance. Plus qu'à remettre les données dans l'énoncé, et on devrait obtenir quelque chose de sympa.

C'est quoi ce verbe "primitiver"?

C'est ton invention pour intégrer?

@Candide:

Je suis réellement désolé que tu me trouves condescendant. En attendant, nous sommes dans un post nommé "Les exercices d'olympiade", je considère donc que ce que les jury considèrent comme connu peut être utilisé ici. En mathématique, il ne sert à rien de recréer la roue à chaque exercice, certains résultats sont réellement considérés comme connus quand on a fait pas mal de math de ce niveau.

Concernant ce qu'a dit elionor, si "manifestement" elle a souhaité sortir du contexte des olympiades, alors manifestement, elle est hors-sujet puisque c'est le titre même de ce topic.

Ma remarque concernant ma formulation "il est bien connu que" concernait la réponse de ordiclic qui me disait de plus vouloir voir ça. Je crois pouvoir dire que les articles qui paraissent dans les plus grand journaux scientifiques au monde sont une bonne référence pour les formulations et les pratiques communément admises de façon générale. Il est évident qu'on ne fait pas ça à l'école, mais nous ne somme (encore une fois) pas dans un topic scolaire.

Quand je parlais des chinois, je ne parlais pas du théorème des restes chinois (je te dirais moi aussi que je ne vois pas bien ce que ça vient faire là...), mais simplement de l'avancée mathématique qu'ils ont fait pendant qu'on taillait encore nos galets. Ils sont pour beaucoup de problèmes de math élémentaires, les premier à les avoir résolu. Ce sont dans le monde actuel de la vraie vie des problèmes "bien connus", même s'ils ne sont pas tous enseignés au collège (et vu ce qu'on enseigne actuellement, c'est pas gagné, mais là je suis également hors-sujet). Il s'agissait bien entendu d'une exagération sur les 30 siècles, une simple tournure de phrase pour exprimer le fait que ce sont simplement de vieux résultats qu'il n'est plus nécessaire de remontrer en permanence. Cela dit, si ça t'amuse, je t'invite à remontrer que par un point donné passe une et une seule droite perpendiculaire à un autre droite donnée, que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, ou que tout nombre possède une unique factorisation en nombres premiers. Amuse-toi bien.

Par ailleurs, tu sembles me prendre de très haut. Je n'ai en effet pas réussi à remontrer le théorème d'ordre des moyennes avec des outils conventionnels du collège (car bien entendu, utiliser la concavité du logarithme est presque trivial). N'étant pas chez moi depuis jeudi soir, je n'ai pas pu mettre la main sur cette preuve et terminer mon post. La preuve se fait à peu près comme l'a présenté Typen, sur base de l'inégalité fondamentale sur une somme de produits. Dès que je rentre chez moi, je te ferai profiter de cette magnifique preuve.

A Typen Merci .
A Caduchon, je crois que tu utilise des théorèmes qui te simplifient beaucoup les choses , il faut juste essayer de résoudre les exos avec un niveau minimale . Bon n'aggraver pas les choses et n'oubliez pas qu'on est là pour résoudre des exos super difficiles alors Next ??

PS: Je crois que Catsoulet a entièrement raison, il faut indiquer le niveau mnimale requit pour résoudre l'exos .

Citation : victor

Citation : Catsoulet

Faut se taper les trois équations :

Avec l'accélaration, la dérivée de la vitesse et l'accéleration étant constante, alors on primitive, et on obtient la vitesse, et en primitivant on à la distance. Plus qu'à remettre les données dans l'énoncé, et on devrait obtenir quelque chose de sympa.

C'est quoi ce verbe "primitiver"?

C'est ton invention pour intégrer?

Le sens est bon, le terme que j'ai utilisé totalement faux, merci de la remarque .

Salut ,
Et si on faisait un peu de géométrie .
Je vous propose un problème de géométrie de Zhidkov Sergeii (qui nous a été proposé a notre tour dans les olympiades régionales du Maroc)

Quelle est la mesure de l'angle ??

Soit ABC un triangle .F et L sont deu points sur le côté <math>\([AC]\)</math> tels que <math>\(\mathrm{AF}=\mathrm{LC} < \frac{1}{2}\mbo{AC}\)</math>, ca donne ca :


Déterminez la valeur de l'angle <math>\(\widehat{FBL}\)</math> sachant que <math>\(AB^2 + BC^2 = Al^2 + LC^2\)</math>

Citation : Caduchon

@Il est évident qu'on ne fait pas ça à l'école, mais nous ne somme (encore une fois) pas dans un topic scolaire.

En fait on est sur un forum avec un public assez varié et il faut en tenir compte. Un élève va peut-être mal comprendre si on lui dit que l'inégalité arithmético-géométrique est bien connue alors que lui, intéressé voire passionné par les maths, ne la connait pas. Quand on est du sérail, on connait. Je suis certain que nombre d'étudiants (fac ou prépas) terminent leurs deux premières années sans savoir ce qu'est cette inégalité et encore moins savent la prouver sans indication.

Citation : Caduchon

Cela dit, si ça t'amuse, je t'invite à remontrer que par un point donné passe une et une seule droite perpendiculaire à un autre droite donnée, que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, ou que tout nombre possède une unique factorisation en nombres premiers.

Tout dépend du contexte et des besoins, il se peut qu'on ait à prouver ces "chinoiseries".

Citation : Caduchon

La preuve se fait à peu près comme l'a présenté Typen, sur base de l'inégalité fondamentale sur une somme de produits.

Oui, c'est quoi cette inégalité fondamentale ? La preuve proposée par Typen ne m'a pas semblé très claire, s'il pouvait remplir les détails.

Citation : Caduchon

Dès que je rentre chez moi, je te ferai profiter de cette magnifique preuve.

Mais avec plaisir

Peut-être qu'il sera opportun d'ouvrir un topic à cette occasion.

EDIT D'ailleurs, l'exo posé perd beaucoup de son intérêt si on admet l'inégalité AG. D'ailleurs, l'exercice est strictement équivalent à l'IAG pour n=3.

Solution du problème de géométrie ci-dessus

Sans perte de généralité, on peut supposer que le triangle est dans un repère orthonormé tel que <math>\(A = (0,0), B = (b,h), C = (1,0), F = (k,0), L = (1-k,0)\)</math> où <math>\(b\)</math> est un réel quelconque, <math>\(h\)</math> est un réel strictement positif et <math>\(k\)</math> est un réel compris entre <math>\(0\)</math> et <math>\(\frac{1}{2}\)</math>.

La condition qui est exprimée s'écrit dès lors <math>\(b^2+h^2 + (1-b)^2 + h^2 = (1-k)^2 + k^2\)</math>, ce qui peut se récrire <math>\(2 b^2 + 2 h^2 +1 - 2b = 2 k^2 - 2k + 1\)</math>, ou encore <math>\(b^2 - b + h^2 = k^2 - k\)</math>.

Calculons les carrés des longueurs des segments <math>\([FB]\)</math>, <math>\([LB]\)</math> et <math>\([FL]\)</math> :
<math>\(\overline{FB}^2 = (b-k)^2 + h^2 = b^2 + k^2 +h^2 - 2 bk\)</math>
<math>\(\overline{LB}^2 = (1-b-k)^2 + h^2 = b^2 + k^2 + 2bk -2b - 2k + 1 + h^2\)</math>
<math>\(\overline{FL}^2 = (1-2k)^2 = 4k^2 - 4k + 1\)</math>

Calculons alors:
<math>\(\overline{FB}^2 + \overline{LB}^2 = (b^2 + k^2 +h^2 - 2 bk) + (b^2 + k^2 + 2bk -2b - 2k + 1 + h^2)\)</math>
<math>\(\overline{FB}^2 + \overline{LB}^2 = 2(b^2 -b + h^2) + (2k^2 - 2k) + 1\)</math>
La condition exprimée ci-dessus nous donne:
<math>\(\overline{FB}^2 + \overline{LB}^2 = 2(k^2 - k) + (2k^2 - 2k) + 1 = 4k^2 - 4k + 1 = \overline{FL}^2\)</math>

Ainsi le triangle FBL est nécessairement rectangle en B. L'angle vaut donc 90°.

Euh

Citation : caduchon

Sans perte de généralité, on peut supposer que le triangle est dans un repère orthonormé tel que <math>\(A = (0,0), B = (b,h), C = (1,0), F = (k,0), L = (1-k,0)\)</math> où b est un réel quelconque, h est un réel strictement positif et k est un réel compris entre 0 et <math>\(\frac{1}{2}\)</math>.

tu pense pas que tu as fait beaucoup de supposition ?? mais ca paraît logique, Chapeau .

Citation : Typen

L'inégalité des moyenne arithmético-géométrique se prouve comme suit :
Soient <math>\(a_i = \frac{\prod_{j=1}^i x_j}{\left(\prod_{j = 1}^n x_j\right)^{\frac{i}{n}}}\)</math> et <math>\(b_i = \frac{1}{a_i}\)</math>.
Par l'inégalité de réordonnement, <math>\(\sum_{i = 1}^n a_ib_{i} \leq a_1b_n + a_2b_1 + a_3b_2 + \ldots + a_nb_{n-1}\)</math>.
Ou encore <math>\(n \leq \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}}\)</math>.
Dès lors <math>\(\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \leq \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\)</math>

Un peu honteux d'utiliser l'inégalité de réordonnement pour cela, enfin c'est bien l'esprit vaseux des olympiades...