Si x,y,z est solution , toute permutation est solution je suppose <math>\(x<y<z\)</math> sans perte de généralité, les cas d'égalités sont traités à la fin.
On doit alors avoir <math>\(4^x+4^y+4^z=4^x(1+4^{y-x}+4^{z-x})=n^2, y-x>0,z-x>0\)</math>
<math>\(4^x=2^{2x}\)</math>étant un carré, on doit avoir le second terme du produit carré parfait soit
<math>\(1+4^{y-x}+4^{z-x}=k^2\)</math>
Mais le membre de gauche est impair donc <math>\(k\)</math> est impaire . soit <math>\(k=2p+1\)</math> et donc :
<math>\(4^{y-x}+4^{z-x}=(k+1)(k-1)=4p(p+1)\)</math>
Posons <math>\(y-x= u,\; z-x =v,\; u<v\)</math>
Aprés une nouvelle factorisation, on obtient:
<math>\(2^{2u}(1+2^{2(v-u)})=4p(p+1)\)</math>

Tout entier <math>\(p\)</math> se décompose ( de façon unique) en <math>\(p=2^rs\)</math>, <math>\(s\)</math> impair.
La relation peut donc s'écrire:
<math>\(2^{2u-2}(1+2^{2(v-u)})=2^rs(2^rs+1)\)</math>
On a de part et d'autre le produit d'une puissance de 2 par un nombre impair. L'unicité implique:
<math>\(2u-2=r\)</math> et <math>\(1+2^{2(v-u)})=s(2^rs+1)\)</math>

On voit donc que <math>\(r\)</math> doit être pair soit <math>\(r=2m\)</math> et <math>\(u=m+1\)</math>
Dans la seconde relation ,
- si <math>\(s=1\)</math> , 0n en déduit <math>\(2(v-u)=2m\)</math> donc <math>\(v=2m+1\)</math>
soit en revenant au variables, <math>\(y=x+m+1,\;z=x+2m+1\)</math>, ce qui équivaut au triplet d'Elionor avec <math>\(z=m+1\)</math>

- si <math>\(s > 1\)</math>, on a nécessairement <math>\(v>2m+1\)</math> puisque le second membre de <math>\(1+2^{2(v-u)})=s(2^rs+1)\)</math>
étant plus grand, le premier membre ne peut l'être que si <math>\(v\)</math> est supérieur à la solution pour <math>\(s=1\)</math>, <math>\(u\)</math>restant égal à <math>\(m+1\)</math> nécessairement.

Posons <math>\(v=2m+1+w\)</math>, alors <math>\(1+2^{2(m+w)})=s(2^{2m}s+1)=s^22^{2m}+s\)</math>
Mais <math>\(s\)</math> étant impair, et la décomposition d'un entier en puissances de 2 étant unique, cette égalité est impossible si <math>\(s \neq 1\)</math> et alors <math>\(w= 0\)</math>.

Finalement je trouve comme seules solutions, les triplets anoncés par Elionor.

Cas d'égalité
- si <math>\(x=y=z\)</math>, o obtient <math>\(3.4^x\)</math>, il est clair qu'il n'y a pas de solution,

- si <math>\(x<y=z\)</math> , ce qui précéde me semble valable et correspond à <math>\(m=0\)</math> et la solution (<math>\(x,x+1,x+1)\)</math>,

-si <math>\(x=y<z\)</math>, on cherche <math>\(4^x(2+4^{z-x})=n^2\)</math> qui n'a pas de solution.

on pose : <math>\(P(x,y)\)</math> l'assertion <math>\(f(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor\)</math> .
notant que : <math>\(f(\lfloor{x} \rfloor y )=f(\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor y)=f(\lfloor x \rfloor )\lfloor f(y) \rfloor\)</math> .
d'ou <math>\((f(x)-f(\lfloor x \rfloor)) \lfloor f(y) \rfloor=0\)</math> .
1er cas : si <math>\(\lfloor f(y) \rfloor=0\)</math> quelque soit <math>\(y\)</math> ,
alors <math>\(P(1,x)\)</math> donne <math>\(f(x)=0\)</math> quelque soit x .
2e cas :
si : <math>\(f(x)=f(\lfloor x \rfloor)\)</math> quelque soit x .
<math>\(P(x,1)\)</math> implique : <math>\(f(x)(\lfloor f(1) \rfloor - 1)=0\)</math> on fixe x tel que <math>\(f(x) \neq 0\)</math> , on obtient <math>\(\lfloor f(1) \rfloor=1\)</math>, il s'ensuit que
<math>\(1\leq f(1) < 2\)</math> .
Remarquant qu'on peut écrire P(x,y) de la maniéré suivante :
<math>\(f(\lfloor x \rfloor y)=f(x)\lfloor f(\lfloor y \rfloor) \rfloor\)</math> , et donc
<math>\(P(n,\frac{1}{n})\)</math> implique : <math>\(f(1)=f(n)\lfloor f(0) \rfloor\)</math> et par conséquent <math>\(\lfloor f(0) \rfloor\neq0\)</math> , ce qui nous permet de conclure car
<math>\(P(x,0)\)</math> nous donne <math>\(f(x)=\frac{f(0)}{\lfloor f(0) \rfloor}=k \in [1,2[\)</math> .
Réciproquement c'est deux types de fonctions vérifient l’équation .

358926471?

358926714, soit celle après @leoleo, voici ma méthode "manuelle", je sais pas si c'est hyper clair:

Pour un nombre quelconque de <math>\(n\)</math> chiffres, il y a <math>\(n!\)</math> permutations possibles.
En décomposant <math>\(123456789\)</math> en groupes qui permutent de <math>\(n\)</math> chiffres, donc <math>\(*******89\)</math>, <math>\(******789\)</math>, <math>\(*****6789\)</math>,etc. par exemple, on sait qu'ils peuvent effectuer n! permutations (avant d'augmenter d'une unité le groupe supérieur).

Il faut donc savoir combien de permutations par groupe on été effectuées jusqu'au 100000ième.
J'ai décomposé 100000 en factorielles, ça nous donne
<math>\(2*8! + 3*7! + 5*6! + 5*5! + 1*4! + 2*3! + 2*2! + 0*1! + 0\)</math>

Après, je suis partit de 123456789 et j'ai appliqué le nombre de permutations par groupes.

On a <math>\(2*8!\)</math> permutations, donc le premier chiffre est 1+2, soit 3
<math>\(3*7!\)</math>, donc 1+3 et +1, car 3 est déjà utilisé, donc 5,
etc...

L'équation à vérifier implique <math>\(2 \leq p<q\)</math>.
Notant <math>\(d\)</math> le PGCD de <math>\(p+q,p-q\)</math>, on a :
<math>\(p+q=d.n\)</math>, <math>\(q-p=d.m\)</math> avec <math>\(PGCD(n,m)=1\)</math>, <math>\(n>m\)</math> et <math>\(2q=d(n+m),\; 2p=d(n-m)\)</math>
<math>\(p,q\)</math> premiers impliquent que <math>\(d=1\)</math> ou <math>\(d=2\)</math>.
<math>\(d=1\)</math> conduit à une impossibilité car on devrait avoir <math>\(n^p=m^{2q-1}\)</math>, <math>\(m^p\)</math> divise le second membre, donc <math>\(m\)</math> devrait diviser <math>\(n\)</math> or <math>\(PGCD(n,m)=1\)</math>.On devrait avoir <math>\(m=1\)</math> qui implique une absence de solution.

donc <math>\(d=2\)</math> et l'équation de l'énoncé peut alors s'écrire:
<math>\((2n)^{p}=(2m)^{2q-1}\)</math> ou encore <math>\((n)^{p}=2^{2q-p-1}m^{2q-1}\)</math>
Comme précédemment, <math>\(m^p\)</math> divise le second membre, donc <math>\(m\)</math> doit diviser <math>\(n\)</math>
Donc <math>\(m=1\)</math> , ce qui implique dans ce cas pour <math>\(n\)</math> :
<math>\(n^{n-1}=2^{n+2}\)</math> et la seule possibilité est <math>\(n=4\)</math>
D'où le couple <math>\((p,q)=(3,5)\)</math>. On vérifie que c'est bien une solution (chaque membre vaut 64)
C'est a priori le seul,...s'il n'y a pas de faille dans la démonstration.