Bonjour,

Voilà, je me demandais ce que valait la limite de la fonction f suivante :

<math>\(f(x) = 1\)</math> si <math>\(x \in \mathbb{P}\)</math>
<math>\(f(x) = x\)</math> sinon

Je ne pense pas que ce soit <math>\(+\infty\)</math>, étant donné que l'ensemble des nombre premiers est infinie.
J'aimerai penser que cette fonction n'a pas de limite, mais je ne sait pas comment le démontrer.

Si vous avez une idée, je vous en remercie d'avance

Assez simple : tu prends 2 suites x_n et y_n (que tu choisis astucieusement), et tu montres que
f(x_n) et f(y_n) n'ont pas la même limite.

En effet c'est assez judicieux, j'avais penser à ce genre de solution, mais en prenant une composée de fonction, et forcément, on tombait à la fois sur les nombres premiers, et sur le reste des nombres... Quand on a la solution, ça parait tout de suite plus simple

Sinon, je voulais savoir s'il y a d'autre méthode pour prouver qu'une fonction n'a pas de limite, comme un raisonnement par l'absurde, ou autre chose.


En tout cas, merci pour la rapidité de réponse.

salut,

Le plus simple pour montrer qu'il n'y a pas de limite est de faire comme je viens de te suggérer : construire 2 suites xn et yn qui tendent vers +inf tq f(xn) et f(yn) n'aient pas la même limite.

Ce qui constitue en fait un "raisonnement par l'absurde" :
on suppose que f a une limite l en +inf, donc pour toute suite zn qui tend vers +inf, on doit avoir f(zn) qui tend vers l.

Donc f(xn) tend vers l et f(yn) tend vers l.

Etc ...

Peut y avoir d'autres méthodes dans des cas particuliers, mais ça ne me vient pas à l'esprit comme ça.

Tu peut nier la définition de f à pour limite + l'infini en + l'infini et celle f a pour limite l de R en + l'infini. ( et celle de f a pour limite - l'infini et + l'infini)
Une fois que c'est écrit, c'est assez facile ( il suffit de savoir qu'on peut trouver un nombre premier aussi grand qu'on veut ).