Bonjour ,

J'ai une limite d'intégrale à calculer quand x tends vers + infini .

Généralement ce qu'on essaye de faire c'est d'encadrer la fonction qu'on intégre et après on encadre les inégalités membres à membres :

Par exemple sur [0,+inf[ ou la fonction f(x) = 1/(x^2+2) est parfaitement définie !

0 < 1/(x^2+2) < 1/(x^2)

Le problème là c'est que comme mon intégrale est fait sur le segment [0,A] par exemple bah je peux pas intégrer 1/(X^2) car sa primitive est 1/x donc de ce fait je vais me retrouver avec un 0 au dénominateur ... donc là je suis incapable de calculer .... ?

Comment faire ? .... c'est surtout le 0 qui pose problème là en fait !

Merci d'avance

@+ et bonne soirée

Euh ... c'est quoi exactement l'intégrale que t'as à calculer ?

Pense a lire ca avant de poster un message sur ce forum de maths sur ce site, comme ca tu écriras mieux tes formules mathématiques et on ne perderas pas de temps a déchiffrer ce que tu écris .

Bonjour.
Dans quelle classe est-tu?
Parce que si tu est avant le bac, ça m'étonnerait que tu puisses trouver la limite : c'est <math>\(\frac{\pi}{\sqrt{8}}\)</math>
Sinon, alors tu dois bien savoir calculer <math>\(\int\limits_0^x \frac{dt}{t^2+2}\)</math> directement, puis faire tendre x vers plus l'infini.

Spoil :

Je me trompe peut-être, mais j'ai l'impression que c'est davantage l'idée qu'une intégrale puisse donner un résultat infini qui pose problème plutôt que l'intégration de <math>\(\frac{1}{x^2+2}\)</math>
Et donc, oui en intégrant à partir de 0 on a un résultat infini pour le cas <math>\(\frac{1}{x^2}\)</math>. Pourquoi pas et assez logique, non ?
Pour avoir un résultat fini, il faudrait mettre un cutoff : intégrer à partir non pas de 0, mais d'un <math>\(\varepsilon\)</math> petit.

[edit] j'ai relu le premier message et en fait c'est probablement moi qui suis à côté de la plaque. Il semble bien que luigielric veuille résoudre <math>\(\int\limits_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 2}\)</math>
Je vois pas comment faire sans connaître arctan, ça doit être vu dans son cours si on lui pose cet exo.
Cela dit, le fait que le résultat de l'intégrale soit compris entre 0 et l'infini reste vrai.

Je ne vois pas pourquoi, cette fonction est parfaitement défini et continue etc sur tous les réels, il n'y a aucune problème en <math>\(0\)</math> contrairement à la fonction <math>\(x \mapsto \frac{1}{x^2}\)</math> qui n'est pas intégrable au voisinage de 0.

Je parlais bien de l'intégration de <math>\(\frac{1}{x^2}\)</math> oui ! Pour <math>\(\int\limits_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 2}\)</math> je suis d'accord avec votre solution bien sûr.

Merci à tous de vos réponses ,

alors premièrement je suis en terminale S et rien de ça n'est dans mon cours :

Je résume la situation :

<math>\(F(x) = \int_0^x \frac{1}{t^2+1}dt\)</math>

Je souhaites simplement calculer ça limite ... hors pour l'instant le seul truc que je connaisse c'est les encadrements pour déterminer les limites d'une intégrale en l'infini (+)

<math>\(0 < \int_0^x \frac{1}{t^2+1}dt <\int_0^x \frac{1}{t^2}dt\)</math>

Sauf que si je prends la primitive de

<math>\(\frac{1}{t^2}\)</math>

c'est

<math>\(\frac{-1}{t}\)</math>

Et comme j'intègre en 0 je me tape un truc qui va ressembler à :




<math>\(F(x) =- \frac{1}{0} + \frac{1}{x}\)</math>

Le 0 au dénominateur est un peu choquant ....


Alors j'avais penser à un petit changement de variable vu que certains m'ont donné des résultats en fonction de pi ...


Je me suis dit en posant :

<math>\(t = tan (\frac{a}{2})\)</math> on a <math>\(sin(t) = \frac{1}{t^2+1}\)</math>

Est-ce que je pourrais aboutir à quelque chose ... parce que en faite là moi j'ai :

x qui tends vers l'infini mais ça revient à ce que t tende vers l'infini donc à ce que a tende vers l'infini aussi ?


Merci d'avance

@+ et bonne soirée


PS : je maitrise latex

Si tu veux montrer que ta fonction converge quand x tend vers l'infini, majorer par 1/x² est une bonne idée ; mais il faut "couper" ton intégrale en deux :
<math>\(\int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt = \int_0^1\frac{1}{1+t^2} dt + \int_1^x \frac{1}{1+t^2}dt\)</math>

l'intégrale entre 0 et 1 est finie sans problèmes, et maintenant, tu peux majorer l'intégrale de 1 à x par 1/t² comme tu l'as fait, tu n'as plus de problème en 0.

Et tu montres ainsi que F admet une limite (car elle sera croissante et majorée).

Pour la calculer, il faut trouver explicitement la primitive de 1/(1+t²), qui se trouve être "arctangente", mais ce n'est pas au programme de Tale...

Bon courage,

D'accord donc y 'a aucun moyen de calculer la limite avec les connaissances de terminales ... même avec un bon formulaire de trigo parce que on en a un quand même assez complet et on nous a fait apprendre tout ça :

http://gilles.costantini.pagesperso-or [...] /formtrig.pdf


Il y a aucun moyen de s'en sortir même avec mon changement de variable à la noix ?

Merci d'avance et encore merci de ta réponse

C'est pas au niveau terminale mais tu peux a priori le démontrer : <math>\(\tan\)</math> restreinte à <math>\(]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\)</math> est une bijection, donc elle admet une fonction réciproque notée <math>\(arctan\)</math>. Sa dérivée se calcule en écrivant que <math>\(arctan(\tan(x)) = x\)</math>, ce qui donne <math>\(arctan'(\tan(x))(1+\tan^2(x))=1\)</math> puis en posant <math>\(y = \tan x\)</math> on obtient bien <math>\(arctan'(y)=\frac{1}{1+y^2}\)</math>.

Alors <math>\(\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^2}dt = \lim_{x\to+\infty} arctan(x) - arctan(0) = \lim_{x\to+\infty} arctan(x) = \frac{\pi}{2}\)</math>.