Bonjour.

Étant actuellement en pleine UE sur les suites, j'ai une petite question a vous posez.

On étudiait la limite de la suite <math>\(U_n = sin(n\pi - 1/n)\)</math>.
En voulant résoudre l'exercice, j'ai montré que la suite <math>\(1/n\)</math> tendant vers 0, et que donc, on pouvant en déduire que la limite de <math>\(U_n\)</math> était la limite de <math>\((U_n = sin(n\pi))\)</math>, qui donc était égal a 0.

Cependant, mon prof m'a dit que <math>\(\ U_n = f(X_n + Y_n), lim\ Y_n = 0 => lim\ U_n = f(X_n)\)</math> n'était pas une propriété existante, en me montrant l'exemple de la fonction partie entière.

Cependant, dans la mesure ou f(x) est une fonction continue (ici sin), la limite a droite et a gauche sera donc toujours la même, et je ne voit donc pas pourquoi le résultat n'est pas possible.

Si vous pourriez éclairer mes lanternes.

Merci.

EDIT : Et la parenthese autour de Un = sin(n\pi) oublie aussi

ecrire lim un = sin(n pi), ça n'a pas de sens

A la rigueur, tu peux écrire lim un = lim sin(n pi), ce qui est vrai ici.

Après, faut voir ce que tu veux dire par "cette propriété existe" ...
Effectivement, si f est continue, cette propriété est vraie.
Après est-ce que cette propriété est dans ton cours, je ne pense pas (je n'avais jamais vu cette "propriété") ; l'exercice est peut être de montrer que cette implication est vraie ?

Autre piste : regarder les <math>\(u_{2n}\)</math> et <math>\(u_{2n+1}\)</math>, qui tendront toutes les deux vers 0 de façon triviale (sin(2k pi + x) = sin(x) )

As tu vu les equivalences ?

Sinon tu peux aussi developper sin(a+b) et faire tendre n vers + l'infini

Citation : sebsheep

ecrire lim un = sin(n pi), ça n'a pas de sens
A la rigueur, tu peux écrire lim un = lim sin(n pi), ce qui est vrai ici.

J'ai oublié le lim en fait
<math>\((U_n = f(X_n + Y_n), lim\ Y_n = 0) => (lim\ U_n = lim\ f(X_n))\)</math>

Donc non, l'exercice n'était pas de montrer cette 'propriété'. Il fallait juste calculer cette limite, qui n'était pas si difficile.
Mais après avoir voulu utiliser cette technique (qui n'apparait nul part dans mon cours), il nous a préciser que c'était impossible.
C'est alors qu'il a sortie cet exemple de la partie entière, mais qui n'est pas continue. Je n'était donc pas pleinement satisfait, c'est pourquoi je suis venu postez ici.

Donc a priori, la propriété est vrai pour toutes f continue ? Donc je pouvais bien appliquer cette méthode ici. J'en toucherai un mot a mon prof la prochaine fois que l'on se verra, pour voir pourquoi il n'était pas d'accord.

@Vael : Oui, j'ai vu les équivalence. Mais dans une composé de fonction, c'est différents, il faut différencié les continues des non continues, c'est ce que le prof n'a sans doutes pas fait en nous disant que c'était impossible.
Bien évidemment, ici, on a développé sin(a - b) pour conclure. Le problème ne vient pas pour calculer la limite, mais pour cette 'technique'

Oui, c'est bien vrai pour tout fonction continue, il "suffit" d'écrire les définitions des limites.

Après, si tu n'es pas capable de montrer cette propriété, et qu'elle n'est pas dans ton cours, est-il honnête de l'utiliser ?

Si tu veux la démo, je peux l'envoyer, elle n'est pas très longue.

Salut,

Non, même en prenant <math>\(f\)</math> continue la propriété est fausse. Un contre exemple se trouve en remplaçant le sinus par exemple par la fonction <math>\(f\)</math> définie par <math>\(f(n\pi)=0\)</math> pour <math>\(n\in\mathbb{N}\)</math> et <math>\(f(n\pi-1/n)=1\)</math> pour <math>\(n\in\mathbb{N}\)</math> et de relier ces points par des segments pour avoir une fonction affine par moceau en forme de dents de scie. Cette fonction est évidemment continue par construction mais la propriété que tu donne ne marche pas.

Pour que la propriété soit vraie il faut que <math>\(f\)</math> soit uniformément continue. Ce qui et bien le cas pour le sinus.

Au temps pour moi ! J'aurais du aller jusqu'au bout de la démo au lieu de faire le malin :s

@GéoMl17 : J'ai pas vraiment compris comment tu a définie ta fonction. Il manquerait pas une condition ?

Hop ! Un dessin parle mieux


Cette fonction n'est pas uniformément continue car les pentes descendentes sont des plus en plus verticales. Ce qui explique que la propriété ne marche pas pour cette fonction.

Ah oui d'accord, j'avais pas bien compris la définition de ta fonction.

Donc je peut appliquer le propriété a toutes fonctions uniformément continues, ( <math>\(<=>\)</math> toutes fonction continues admettant une limite en +inf, ce qui n'est pas le cas de celle que tu m'a présenté non ?).
Je verrait avec mon prof de math Lundi si on peut l'utiliser en TD / DS.

Merci bien pour vos précision.

C'est vrai que si ta fonction <math>\(f\)</math> avait une limite en <math>\(+\infty\)</math> la propriété marcherait aussi. Mais ici ce n'est pas le cas : la fonction sinus n'a pas de limite en <math>\(+\infty\)</math>.

Une fonction uniformément continue n'a pas forcément une limite en <math>\(+\infty\)</math>. Le problème de ma fonction n'est pas qu'elle n'a pas de limite mais en gros que ses variations sont de plus en plus brusques.

Ouais, je me suis super embrouillé sur la fin :p.
Donc merci pour toutes les précisions qui vont me permettre de finir mon week-end sans ce doute mathématiques.

Une fonction est uniformément continue si le module de continuité (le <math>\(\eta\)</math> que l'on trouve pour un <math>\(\varepsilon\)</math> donné) ne dépend pas de ton point d'étude.

Continuité de f sur I : <math>\(\forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \exists \eta > 0, \forall y \in I, |x-y| < \eta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)</math>
Uniforme continuité de f sur I : <math>\(\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall x \in I, \forall y \in I, |x-y| < \eta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon\)</math>