remarque : tu as déjà des exos en chantier faisant intervenir des DL où tu as eu des pistes et où tu ne dis pas si tu as conclu. Cela n'aide pas à savoir les points qui te bloquent sur les questions de DL ...

 La division selon les puissances croissantes intervient si on cherche à exprimer explicitement le DL d'un quotient. Ici, on cherche une limite et le DL du numérateur et du dénominateur à l'ordre convenable peut suffire pour trouver la limite sans avoir à faire cette division . C'est le cas ici .

  Après si tu as un problème pour calculer ces  DL , c'est autre chose. Mais c'est de la composition de fonctions. Tu dois avoir vu cela. La seule difficulté est d'exprimer au bon ordre, mais ici c'est simple, il n'y a pas besoin de développer très loin pour lever l'indétermination qui est du type \(\frac{0}{0}\) dans les deux cas.
A partir de là, fais l'effort de chercher un peu plus toi-même  même si tu te trompes, il vaut mieux faire corriger une erreur que ne pas chercher. Si on en dit plus au départ,   cela ne t'aidera pas efficacement et tu ne sauras pas faire le jour d'un exam ... où il n'y aura pas le forum OC.  

indication pour vérifier ce que tu fais

la limite en 0 pour la première expression est 1/2

la limite  en \(\frac{\pi}{6}\)pour la seconde est \(-\frac{\sqrt{3}}{6}\).  
Attention, le calcul du second exercice est un tout petit peu plus compliqué,    il faut exprimer le DL en un point autre que 0 donc on ne peut utiliser immédiatement  les développements usuels en 0 donnés dans des mémentos . 

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Edité par Sennacherib 23 mai 2018 à 8:25:17

Le calcul de la limite pour la première fraction est équivalent à :

En utilisant les développements usuels de ln(1+x) et de tan(x) trouvés sur cette page : https://math.unice.fr/~auroux/IUT/m111-4.pdf, on trouve :

Est-ce correct ? Est-ce ce qu'il fallait faire ?

Et surtout, que faire avec ça ?

Merci beaucoup pour l'aide.

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Edité par Benjamin Letelier 23 mai 2018 à 13:03:11

Je ne pense pas que ce soit la bonne piste.

Au numérateur, commence par faire un DL de (cos(x)+1-cos²(x)) .  Puis ln() du résultat obtenu.

Dans un DL, on ne veut que des polynômes en x. Donc les cos() doivent 'disparaître'.

comme dit tbc92, ce n'est pas la bonne piste, tu te compliques la vie et tu vas trop loin dans lse développements

au dénominateur , le terme du premier ordre suffit pour la tangente, ce qui reste alors est très simple

au numérateur \(\sin x\) est équivalent à \(x\) au premier ordre....donc \(\sin^2(x) \)? (cela ne sert à rien de transformer en \(1-\cos^2(x)\) , au contraire!)      et sachant que \(\cos(x)\sim 1-\frac{x^2}{2}\), que reste -t-il pour le logarithme \(\ln(1+?) \sim ?\) 

conseil : lorsque  tu cherches une limite, commence par développer au premier ordre seulement. Si cela ne suffit pas pour lever une indétermination, alors tu vas plus loin.

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Edité par Sennacherib 23 mai 2018 à 15:19:17

Merci beaucoup pour votre réponse.

Malheureusement, je ne comprends encore rien, cela fait 5 heures que j'essaye de comprendre, mais je n'y arrive pas !

De plus, à quoi correspondent vos ∼ ?

Pourriez-vous éventuellement me montrer ce qu'il faut faire en détails pour la première limite, et ensuite je vous ferai une proposition pour la deuxième limite ?

Car là sinon je suis vraiment perdu...

Merci encore pour l'aide, j'en ai énormément besoin...

J'ai finalement compris, merci beaucoup !

Par contre, je n'ai aucune idée pour la question 2... 

Je penche peut-être pour un changement de variable, mais je suis vraiment bloqué... Pourriez-vous me dire comment faire svp ?

Merci encore pour votre aide.

Tu peux faire le changement \(X=x-\frac{\pi}{6}\) pour te ramener en \(X\rightarrow 0\).  Tu peux aussi utiliser directement un développement de Taylor en \(\frac{\pi}{6}\) puisque on sait que si une fonction admet un développement de Taylor, c'est son développement limité. Cela revient au même, pour les "bonnes" fonctions, le DL c'est une développement de Taylor. 

( remarque: la réciproque est fausse, une fonction peut admettre un DL sans admettre un développement de Taylor  au point considéré, mais cela ne concerne pas les "bonnes" fonctions continues et dérivables en tout point)

Avec le changement de variable \(cos(3x)=\cos(3X+\frac{\pi}{2})=-\sin(3X) \sim -3X \),
ou avec Taylor que je détaille: 

\(f(x)=\cos(3x)= \cos(3*\frac{\pi}{6}) +(x-\frac{\pi}{6})f'(\frac{\pi}{6}) +o(x-\frac{\pi}{6}) \)
\(\cos(3x)=  0 +(x-\frac{\pi}{6})(-3\sin(3*\frac{\pi}{6})) +o(x-\frac{\pi}{6})   \), 
soit :

\(\cos(3x)=(x-\frac{\pi}{6})(-3\sin(\frac{\pi}{2}))+o(x-\frac{\pi}{6}) \sim -3(x-\frac{\pi}{6})  \) c'est sans surprise la même chose au changement de variable prés.

Il faut bien avoir en tête que Taylor permet de retrouver tout DL de fonctions continues dérivables en un point quelconque. Dan l'exemple particulier  , cela peut paraître plus compliqué, mais    dans le cas général , on doit utiliser Taylor .

 Ce sera le cas pour le numérateur même avec le changement de variable.

Avec \(X\), le numérateur devient \(\arctan(2 \sin(X+\frac{\pi}{6})) -\frac{\pi}{4}\) 

Que fais tu maintenant pour obtenir le DL en X? 

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Edité par Sennacherib 25 mai 2018 à 9:41:32

Que fais tu maintenant pour obtenir le DL en X? Je ne sais pas trop, on utilise une formule ?

Merci beaucoup pour votre aide.

si tu poses une question à chaque ligne, et ce n'est pas le seul post,  sans essayer de résoudre par toi-même, tu ne vas pas beaucoup progresser. Je suis un peu trop curieux sans doute, mais tu sembles avoir des hésitations un peu "inquiétantes" A quel niveau es tu?

Ici commence par développer le sinus selon une identité trigonométrique connue.

Développe alors avec le DL des fonctions trigo en \(X=0\).

Tu vas obtenir quelque chose de la forme \(\arctan(1+aX+bX^2+...)\) \(a,b\) à déterminer mais seul \(a\) est intéressant pour la suite.

Et là, il faut faire un développement de Taylor à l'ordre 1 de l’arc tangente en 1. ( le \(-\pi/4\) du numérateur doit s'éliminer ...).

Je t'ai déjà indiqué la limite que tu dois trouver

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Edité par Sennacherib 25 mai 2018 à 14:35:05

Finalement j'ai tout fait sans changer de variable, et donc avec des DL calculés avec Taylor-Young, c'est correct aussi ?

Merci encore pour l'aide.

Pourriez-vous m'aider sur mon dernier sujet ? C'est une question rapide !

MERCI.