Bonjour à tous,

    Je suis en Terminale S et je dois dans un exercice, calculer la limite d'une fonction en 0 avec une fraction comprenant une exponentielle. Le souci, c'est que la valeur 0 est une valeur interdite de la fonction et que l'exercice ne précise pas si la limite doit être calculée en 0+ ou en 0-. Voici la limite à calculer:

lim x-->0 (exp(3x)-1)/x = ?

En me servant de la calculatrice, j'ai trouvé que la limite était 3 mais je n'arrive pas à le prouver par le calcul :/.

Merci d'avance pour votre aide,

Maxence 

Bonjour ! Lorsqu'on a une forme indéterminée (comme ici), il y a deux possibilités pour lever l'indétermination : soit on ré-écrit l'expression de la fonction (par exemple si on a une forme +∞ -∞, on va essayer de factoriser), soit on utilise une des trois formes indéterminées du programme (elles figurent dans un paragraphe qui s'appelle souvent “croissances comparées”).

Ici, on dirait bien l'une des trois formes du cours... Non ?

Est ce que vous avez connaissance des développement limité en terminale ? Car c'est imediat ici avec

edouard22 a écrit:

Est ce que vous avez connaissance des développement limité en terminale ? Car c'est imediat ici avec

il n'y a pas besoin de connaitre les DL. Il suffit d'applique la définition de la dérivée  de la fonction \(e^{3x}-1\) en \(x=0\)  , et ça c'est au programme S.
Conclusion immédiate limite=3.

Bonjour robun ! Tout d'abord, merci de me répondre. Je connaissais la première méthode consistant à factoriser pour lever l'indétermination mais je ne vois pas comment elle pourrait s'appliquer dans cet exemple. Concernant la seconde méthode, je crois qu'on ne l'a pas vue en cours. Mais je peux me tromper ! Tu pourrais me donner plus de détails s'il te plaît ?

Bonjour edouard22, j'en ai entendu parler par ailleurs mais nous n'avons pas encore traité ce chapitre (je ne sais même pas s'il est au programme).

Bonjour Sennacherib, j'ai du mal à voir où tu veux en venir. Tu peux me donner des détails supplémentaires sur la méthode à utiliser ?

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Edité par atchmou 16 décembre 2017 à 17:46:53

atchmou a écrit:

Bonjour Sennacherib, j'ai du mal à voir où tu veux en venir. Tu peux me donner des détails supplémentaires sur la méthode à utiliser ?

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Edité par atchmou il y a environ 1 heure

En terminale on étudie la dérivation. Je ne sais pas si tu as déjà vu.

On apprend la définition de base: la dérivée en \(a\), \(f'(a)\), de la fonction \(f(x)\) est la limite du rapport \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) quand \(x \rightarrow a\).

On applique:

ici \(f(x)=e^{3x}-1, a=0, f(0)=0\) donc la limite quand \(x \rightarrow 0\) de \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \dfrac{e^{3x}-1 }{x }\)  est égale à la valeur en \(x=0\) de \(f'(x)=3e^{3x}\), soit  3.

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Edité par Sennacherib 16 décembre 2017 à 21:05:18

Tu pourrais aussi bluffer ton prof avec la règle de l'Hopital qui dit que pour toute limite lim f(x)/g(x) quand x tend vers 0, si f(x) =0 et g(x) =0, alors lim f(x)/g(x) quand x tend vers 0 est équivalente à lim f'(x)/g'(x) quand x tend vers 0. 

et là tu obtiens bien 3 

;) 

Les développements limités et la règle de L'Hôpital ne sont pas au programme de terminale !

En terminale, pour calculer la limite de cet exercice, on attend de l'élève qu'il applique une des trois limites indéterminées qui sont au programme. La deuxième, celle qui va servir ici, se démontre comme l'a indiqué Sennacherib, mais les élèves sont sensés l'utiliser, pas la redémontrer.

atchmo :

> mais je ne vois pas comment elle pourrait s'appliquer dans cet exemple.

Relis mon premier message, tu verras que je suggérais d'utiliser l'autre méthode, pas celle-ci.

> Concernant la seconde méthode, je crois qu'on ne l'a pas vue en cours. Mais je peux me tromper ! Tu pourrais me donner plus de détails s'il te plaît ?

J'ai donné suffisamment de détails. Mais OK, je répète :

« soit on utilise une des trois formes indéterminées du programme (elles figurent dans un paragraphe qui s'appelle souvent “croissances comparées”). »

Ce que tu dois faire, c'est ouvrir ton cours et chercher le paragraphe où sont donnés ces trois formes indéterminées. C'est sûrement dedans, sinon on ne t'aurait pas donné cette limite à calculer.

Je viens de regarder le programme officiel concernant ce chapitre (en page 6) : cache.media.education.gouv.fr/file/special_8_men/98/4/mathematiques_S_195984.pdf

Ce genre de limite n'est apparemment pas exigible directement avec un résultat du cours. A mon avis, ce qui est attendu, c'est que tu fasses l'analogie avec ce que tu a vu en cours et que tu utilises la méthode de Sennarechib. C'est en tout cas ce qui me semble le plus proche du programme.

Dans le programme, il est dit « on fait le lien entre le nombre dérivée de la fonction exponentielle en 0 et la limite en 0 de \( \dfrac{e^x-1}{x} \) ». Donc en effet, contrairement aux deux autres limites indéterminées, ça signifie qu'il faut refaire la démonstration. Cela dit les cours que j'ai vus plaçaient cette limite avec les deux autres, donc je ne serais pas étonné que les profs demandent à ce qu'on sache appliquer le résultat, même si le programme n'en dit pas plus.

robun, j'ai bien compris ce que tu me demandais de faire mais je n'ai aucun paragraphe dans mon cours s'intitulant "croissances comparées" ou quelque chose du genre; d'où le fait que je demande plus de détails.

Merci Poco_ pour tes précisions, j'ai utilisé la méthode de Sennarechib et complété avec celle d'Alexie68, les deux aboutissant au même résultat.

Je vais fermer le sujet, merci à tous pour votre aide !

Et tu n'avais pas, dans le cours, les trois limites indéterminées ? Bon...

J'avais e^x / x = +l'infini; x / e^x = 0+ pour la limite quand x tend vers +l'infini, et limite quand x tend vers -l'infini x*e^x=0-. Est-ce que tu faisais référence à ces propriétés ?

Non, non, donc en effet il n'y a peut-être plus que ces deux limites au programme (je dis deux car e^x/x et x/e^x, c'est la même).