Bonjour à tous, j'étudie l'analyse et le calcul infinitésimal, et j'en suis arrivé à la définition formelle d'une limite, mais un exemple me pose problème.

Par exemple si on veut prouver que lim x->3 de x^2=9

Il faut trouver un delta tel que pour tout epsilon si |x-3|<delta, alors |x^2 -9| < epsilon.

On factorise, et on trouve que |x+3||x-3|<epsilon. On serait tenté de choisir delta=epsilon/|x+3|, mais apparemment delta ne peut pas dépendre de x... Pourriez vous m'éclairer sur le pourquoi du comment ?

Replaçons nous dans les soirées mondaines, sous Louis XIV

Le duc X présente la baronne Y à l'archiduc Z : " Je vous présente la baronne Y, c'est la fille de Mme de XXXX "

Si l'archiduc Z connait Mme de XXXX, alors ça marche, tout est cohérent. Mais s'il n'a jamais entendu parler de Mme de XXXX, alors ça n'a pas de sens.

Dans ce cas, on va d'abord présenter Mme de XXXX à l'archiduc, puis on va dire : Et voici sa fille , la baronne Y.

On ne peut présenter une personne, qu'en se référant à des personnes ou des choses connues.

Ici, c'est pareil.  On ne peut introduire une valeur (ici Delta) qu'en la définissant avec les autres valeurs déjà introduites. 

Soit Epsilon un réel. Je peux trouver un réel Delta qui va bien plaire à Epsilon.   

Ah, c'est combien ce Delta ? 

Reponse de Remidejaegere : Delta ? C'est epsilon/|x+3|  

Diantre, mais qui est x ? je ne connais point cette personne.  

Euh ... x,  je ne vous l'ai point encore présenté. D'ailleurs, je ne peux pas vous le présenter, c'est n'importe quel nombre, au choix, entre 3-Delta et 3+Delta...

Et donc Delta, C'est combien ?   Si Epsilon vaut 0.00001, Delta vaut combien ?

Euh ... ça dépend , ça dépend de x.  

On ne s'en sort pas.  

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Edité par tbc92 15 juin 2020 à 18:29:34

Bonjour. Tout d'abord, merci pour votre réponse. Afin de voir si j'ai bien compris je voudrais pousser l'analogie un peu plus loin. Ce que la définition dit(une reformulation) c'est que L est la limite de f(x) quand a->x si pour tout epsilon il existe un intervalle [a+delta;a-delta] tel que si x est dans cet intervalle, f(x) est distant de L de moins de epsilon. Ainsi, delta doit être fixe car c'est la valeur à partir de laquelle on compare les x. Dans une certaine mesure, c'est comme si une attraction à sensation possédait une limite de taille disant "interdit à ce qui sont plus petits que leur propre taille". Pas de doute sur le fait que peu de gens se voient refuser à l'entrée !

Bof, pas convaincu par cette analogie.

Jusqu'à la phase commençant par 'Ainsi', c'est parfait. 

PS : j'avais fait une grosse erreur dans mon message, j'ai corrigé.  J'avais mis vers la fin 3+-epsilon,  et c'est 3+-Delta !

Salut,

Note de plus que ta phrase «il faut trouver un delta tel que pour tout epsilon si... » est fausse. C'est plutôt, pour tout epsilon, il faut trouver un delta tel que...

Informellement, ce qu'on fait avec la définition de la limite c'est ça. On prend un epsilon aussi petit qu'on veut. On veut montrer que même si epsilon est très petit, on peut trouver une toute petite boule qui contient 3 et dans laquelle l'image de tous les éléments x sont très proches de f(x) (donc à une distance au plus epsilon). Comme ça marche pour n'importe quel epsilon, aussi petit qu'il soit, ça correspond bien à l'idée qu'on se fait de la limite. Donc dans l'ordre,

• on prend un epsilon, on veut vérifier s'il y a une petite boule (un intervalle) qui contient 3 et dans laquelle l'image de tous les points est très proche de l'image de 3.
• Il nous faut trouver cette boule (cet intervalle). On le cherche sous la forme d'un delta. Les éléments dans la boule (dans l'intervalle) seront les éléments à une distance au plus delta de 3. Les éléments de la boule dépendent donc du choix de delta (et pas l'inverse).

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Edité par yo@n97one 15 juin 2020 à 19:08:23

D'accord, merci à tous pour vos réponses claires. Il me semble qu'il y a eu assez de précisions pour que le topic soit résolu !

> Il faut trouver un delta tel que pour tout epsilon si |x-3|<delta, alors |x^2 -9| < epsilon.

Pour être précis, il faut prouver que quelque soit epsilon, ce delta existe. Pour formaliser de manière correcte, tu dois prouver que : 

"Pour tout ε > 0, il existe un δ >= 0 tel que : si |x-3|<=δ, alors |x²-9|<=ε"

J’ai remplacé les inégalités strictes, par des "inférieurs/supérieur ou égal", de mémoire ça ne pose pas de problème (mes cours remontent à loin, donc je laisse les autres membres corriger si nécessaires).

Il se trouve que dans notre cas précis, x²=9 quand x=3. Donc si x=3, alors |x²-9|=0<ε. Donc quelque soit ε, si δ=0, |x²-9|<=ε. Donc x² tend bien vers 9 quand x tend vers 3.

Tu peux prouver de la sorte que si f(x)=n lorsque x=a, alors f(x)->n lorsque x->a. Je crois que ça ne marche que pour les fonctions continues, mais encore une fois ça commence à faire quelques années.

Non mégalo. Delta doit être non nul.  Ca change tout.

Ton message est une succession de trucs aléatoires. A la fin, tu dis : ça ne marche que pour les fonctions continues. 

Oui et non. Quand tu dis ça, tu dis en fait : Une fonction a une limite uniquement si elle a une limite.

Ou encore : une fonction est continue uniquement si elle est continue.

En effet, c'est quoi la définition de fonction continue ? C'est que en tout point x0, elle admet une limite f(x0).

Il faut bien δ > 0. Autoriser à prendre δ = 0, c'est dire que si la fonction est définie en un point x , alors elle admet une limite et sa limite en x est f(x). On perd la composante « quand y est très près de x , l'image de y est très proche de la limite ». Le but de l'étude des limites c'est d'étudier ce qui se passe quand on s'approche du point. En autorisant δ = 0, on aurait que pour n entier, la limite de la partie entière en n est égale à n (alors qu'on a un problème en s'approchant vers la gauche), on aurait que la fonction indicatrice de Q aurait des limites en tout point (alors qu'en fait on montre facilement qu'elle n'a de limite en aucun point), etc.

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Edité par yo@n97one 16 juin 2020 à 15:39:29