Je dois résoudre un exercice cependant le cours ne donne aucune notion, j'ai dû m'aider d'internet. Pouvez-vous me dire si c'est bon svp ( je ne mets que les formules utilisées).

Voici l'exercice que je dois résoudre :

Soient X1, X2, · · · , Xn, n V.A. i.i.d., où Xi ∼ N (0, σ2). On note X le vecteur (X1, X2, · · · , Xn)T .

Soit E la droite vectorielle engendrée par le vecteur (1,1,··· ,1)T.

1. Donner le projeté orthogonal de X dans E. On le note PE(X).

   PE(X)=(1/n)(X1+X2+…+Xn,X1+X2+…+Xn,…,X1+X2+…+Xn)⊤

2. Donner le projeté orthogonal de X dans le supplémentaire orthogonal de E dans R4. On

   le note PE⊥ (X).

   PE⊥(X)=X−PE(X)

3. D’après le théorème de Cochran que peut on dire de PE(X) et PE⊥(X).

   D’après le théorème de Cochran, si X suit une distribution normale multivariée alors la variable aléatoire PE(X) suit aussi une distribution normale multivariée; et PE(X) et PE⊥(X). sont indépendants 

4. Quelle relation existe-t-il entre la variance empirique Sn2 = (1/n-1)Σ(Xi− Xn ̄ )2 et ||PE ⊥ (X)||2 ? 

5. En déduire la loi de Sn2/σ2.