Salut a tous,

Je suis en train de faire mon devoir de maths et je bute sur une question depuis un petit moment:

Citation : Maths

Montrer que pour tout X>0, 1+X=<e^(X)

Pourriez vous éclairer mon chemin ?
Merci d'avance.

Mais quelle est la valeur de e?

C'est l'exponentielle

xD

Putain Poport' même moi je le savais xD

X appartient à quel ensemble ? R+ ? N ?

Et ton équation, c'est pas plutot X>0, 1+X<=e^(X)

C'est tout bête:

exp(x)=<1 pour x>0 puisque exp (0) =1

et le fait d'ajouter x ne change pas grand chose

Citation : Asgeir

Et ton équation, c'est pas plutot X>0, 1+X<=e^(X)

Et tu ose dire que je suis un chieur...

Seeme, je sais que c'est exact mais je ne sais pas le prouver justement

Et bien en fait, ce que tu cherches à montrer c'est que pour tout x>0, e^x-x-1 >= 0

La solution est un peu longue mais très intéressante.

Suppose la fonction f(x) = e^x-x-1

calcule la dérivée : f'(x) = e^x-1

dérivée seconde : f''(x) = e^x

Ensuite dans le sens inverse :

Pour tout x de R, f''(x) > 0
D'où f'(x) est croissante. Or f'(x) est définie et continue sur R. Et f'(1) = e-1 >0 (car e = 2.7 a peu près)
Donc pour tout x >=1, f'(x) > 0

Donc f(x) est croissante, Or f(x) est définie et continue sur R. Et f(1) = e-2 >0
Donc pour tout x >= 1, f(x) > 0

CQFD

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Si tu regardes dans ton cours, tu trouveras une démonstration similaire pour prouver que la limite à l'infinie de (e^x)/x est +infini

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Et Seeme, c'est vrai que là tu démontres pas grand chose

Merci pour cette superbe demonstration

De rien.

J'ose seulement espérer de ne pas m'être planté comme une grosse bouze dans la-dite démonstration, vu la vitesse à laquelle j'ai du la rédiger...

Mais je suis sûr que quelques Zéros, fort en analyse mathématique, sauront confirmer ou infirmer mes dires

Citation : undefined

Et Seeme, c'est vrai que là tu démontres pas grand chose

C'est juste que ça m'apparaissait logique, dsl j'aurais dû développer

çà à l'air cohérent.

je pense avoir une autre démo :

Citation : démo

exp(x) >= x+1

on multiplie chaque membre par ln (i.e. ln(exp(x))=x) :
x >= ln(x+1)

on dérive :
1 >= 1/x

voilà.

Citation

Pour tout x de R, f''(x) > 0
D'où f'(x) est croissante.

Pas besoin de dériver e^x pour savoir qu'il est croissant hein

Par contre tu test avec x=1, mais faudrait plutot regarder en x=0 (ou, si t'as pas le droit à 0, la limite du truc en x=0). Parce que t'oublies d'étudier le truc entre 0 et 1 en testant avec 1.

A part ca la démonstration est bien, mais la dérivée seconde est inutile

Il manque des balises pour faire des Maths dans le Zcode

Je veux faire facilement des équations et des fractions lol

En fait c'est l'idée de base :

Citation

Suppose la fonction f(x) = e^x-x-1

calcule la dérivée : f'(x) = e^x-1

Qui manquait a mon raisonnement

c'est vrai que c'est toujours la première idée qu'il manque dans un problême de Maths.

Celà dit, en général il suffit de s'inspirer des démonstrations faites dans le cours. EN esperant que tu es une bonne prof de Maths qui explique bien. (Ma prof est vraiment très bonne prof).

Citation : minirop

exp(x) >= x+1

on multiplie chaque membre par ln (i.e. ln(exp(x))=x) :
x >= ln(x+1)

on dérive :
1 >= 1/x

Attention minirop, faut être plus rigoureux ( (c) tous les profs de math )

Tu as le droit de composer par ln CAR
- ln est croissante -> pour conserver le sens de l'inégalité
- x+1 > 0 (par def de x) -> car ln(-5) sur une copie ca la fou mal

Ensuite, t'as pas le droit de dériver en gardant l'inégalité, c'est totalement faux ca.
Imagine 3 > cos(x)
on dérive : 0 > -sin(x) ce qui est faux (enfin pas vrai pour tout x)

Et aussi attention, ln'(u) = u'/u, donc ln'(x+1) = 1/(x+1)

Citation : winzou

Ensuite, t'as pas le droit de dériver en gardant l'inégalité, c'est totalement faux ca.
Imagine 3 > cos(x)
on dérive : 0 > -sin(x) ce qui est faux (enfin pas vrai pour tout x)

là x>0 -> sin(x) > 0 -> -sin(x) =< 0.
reste plus quà trouver des contre-exemples

Non mais une inégalité sur un intervalle, graphiquement ca veut dire qu'une courbe est au dessus d'une autre. La dérivée c'est la pente de la courbe en un point.

Donc si une courbe qui descend est au dessus d'une courbe qui monte, elle représentera une fonction à la dérivée négative, alors que pour la courbe qui monte ce sera une dérivée positive : même si la courbe est plus 'petite' à la base, la dérivée sera plus 'grande'.


De même, en physique, on a deux voitures qui vont à des vitesses différentes.
Si la voiture A va plus vite que la voiture B, on a V(a) > V(b).
Cependant, ca ne te dit pas si la dérivée de la vitesse de la voiture A, c'est à dire l'accélération de A, est plus grande ou plus petite que l'accélération de B : A peut aller super vite et être en train de freiner, et B très lentement mais en train d'accélerer, ou l'inverse.

Citation : minirop

Citation : winzou

Ensuite, t'as pas le droit de dériver en gardant l'inégalité, c'est totalement faux ca.
Imagine 3 > cos(x)
on dérive : 0 > -sin(x) ce qui est faux (enfin pas vrai pour tout x)

là x>0 -> sin(x) > 0 -> -sin(x) =< 0.
reste plus quà trouver des contre-exemples

contre exemple :

x = 3pi/2
x est bien > 0
sin(x) = -1
-1 > 0 est faux

Mais voila, il faut comprendre ce que bluestorm dit. J'allais le dire, mais flemme de faire des phrases j'ai préféré choper un contre-exemple