Salut à tous !

Voila, je suis en Terminal S et je fais Maths spé, et j'ai un DM sur les similitudes et il y a une question à laquelle je n'arrive pas à repondre : Existe-t-il une similitude indirecte de rapport 1 et ayant un seul point fixe ?

J'ai essayer plusieur composé de transformation sans en trouvé une, donc j'ai envie de repondre non a cette question mais je me demande s'il y'en a pas une qui m'echappe ^^'

En esperant qu'il y ai des gens ayant fait Maths spé qui puisse m'aider
Merci d'avance, Merinoss.

Une similitude de rapport 1 est une rotation.

Existe-t-il une rotation ayant un seul point fixe ?

Sur ce point je suis d'accord mais une rotation n'est pas une similitude indirecte (qui inverse les angles de vecteur)...

Une similitude non directe peut s'écrire sous la forme <math>\(f \circ s\)</math> où <math>\(f\)</math> est une similitude directe et <math>\(s\)</math> une symétrie axiale.

Merci pour vos reponse, j'ai trouver la reponse : il n'existe pas de similitude de rapport 1 indirecte a un point invariant, en dimension 2 en tout cas !

J'aurais tendance à penser qu'une symétrie d'axe D composé avec une rotation dont le centre est appartient à la droite D donnerait satisfaction.

Mais je dit peut être une bêtise.

J'y ai pensé aussi simbilou mais je crois que la droite passant par le centre et faisant un angle <math>\(-\theta/2\)</math> avec D est invariante.

L'expression analytique (complexe) de la similitude devrait confirmer ou infirmer.

Euh, ça me semble bizarre parce que si on fait une rotation d'angle pi par exemple, puis une symétrie axiale par rapport à une droite qui contient le centre de la rotation, je pense que seul le centre de la rotation est un point fixe. Après c'est sur que les doutes sont transformées en elle même mais si on ne prend qu'un point de la droite, son image n'est pas lui même ...
En plus, il semble difficile de prouver l'inexistance, donc c'est sûrement pas ça qui est demandé. Alors que pour l'existence il suffit de trouver un exemple

Pierre89 a raison. Soient <math>\(s : z' = \bar{z}\)</math> et <math>\(r : z' = iz\)</math>
Alors :
<math>\(r \circ s : z' = i\bar{z}\)</math>

Cherchons les points invariants :
<math>\(z = i\bar{z}\)</math>
<math>\(x + iy = i(x - iy)\)</math>
<math>\(x + iy = y + ix\)</math>

Autrement dit :
<math>\(x = y\)</math>

La droite d'équation y=x est invariante.

Non, walla. L'exemple de Jan95 devrait te convaincre. Je te fais la démonstration dans le cas général.


A rotation et translation du repère près, on peut supposer que la symétrie est <math>\(s : z \mapsto \bar{z}\)</math> et que le centre de la similitude est l'origine du repère.
On prend ensuite une rotation <math>\(r : z \mapsto e^{i\theta}\)</math>.

Un point fixe de <math>\(r \circ s : z \mapsto e^{i\thetha}\bar{z}\)</math> vérifie :
<math>\(z = e^{i\theta}\bar{z}\)</math>
C'est-à-dire (notations évidentes) : <math>\((1-e^{i\theta}) x = -i (e^{i\theta}+1) y\)</math>

Si <math>\(\theta \neq \pi (\math{mod}\ 2\pi)\)</math>, alors la droite d'équation <math>\(y = i\frac{1-e^{i\theta}}{1+e^{i\theta}} x\)</math> est invariante.

Sinon (le cas de walla), la droite d'équation x=0 est invariante.

Je prétendais pas avoir raison, surtout que ça m'aurait étonne vu que vous avez tous le triple de mon niveau d'étude...
La j'ai un peu compris avec la résolution d'équation, mais il y a un truc qui m'embete toujours: pour vous dire qu'une droite est invariante ça veut forcément dire que tous ses points sont invariants?? Parce que intuitivement j'aurais dit que ça signifiait que son image était elle même, ce qui peut être le cas même si les points bougent tous.(par exemple si on prend une bijection de R dans R, l'ensemble de départ et d'arrivée sont bien égaux, mais la fonction n'est pas forcément f(x)=x). Après je pense que c'est qu'une question de définitions et les applications sur des ensembles c'est pas vraiment au programme de terminale

Justement, d'après ma démonstration, tous les points respectant y=x ont pour image eux-même. Il en est de même pour celle de Pierre89.

Citation : walla

La j'ai un peu compris avec la résolution d'équation, mais il y a un truc qui m'embete toujours: pour vous dire qu'une droite est invariante ça veut forcément dire que tous ses points sont invariants?? Parce que intuitivement j'aurais dit que ça signifiait que son image était elle même, ce qui peut être le cas même si les points bougent tous.e

Si l'image d'une droite est elle-même, mais pas forcément point par point, on dit qu'elle est stable. Si c'est point par point, on dit qu'elle est invariante.

D'accord, merci pour cette précision tout devient clair maintenant