Bonjour à tous,

Je suis en train de préparer les concours d'ingénieurs et je bloque sur les projections orthogonales. J'essaie de refaire un exo du cours et je bloque sur la deuxième partie. Voilà l'énoncé :

Dans \(E=\mathbb{R}^3\), muni du produit scalaire habituel, rechercher la projection orthogonale sur le plan \(P\) d'équation \(x+y-z=0\). En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à \(P\).

Après avoir obtenu une base orthonormée de \(P\), j'ai pu déterminer la projection orthogonale sur \(P\) sans problème :

Pour \(X(x,y,z)\),

\[p_P(X)=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}4x-2y+2z\\-2x+4y+2z\\2x+2y+4z\end{pmatrix}\]

C'est à partir de ce point que je bloque. Dans le cours, il est indiqué de d'abord déterminer la projection orthogonale sur \(P^\perp\), je vois pas pourquoi on peut pas "simplement" faire \(s=2p-id\) ?

Merci d'avance

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Edité par tatatoche69 24 avril 2017 à 23:25:38

On peut déjà utiliser la projection orthogonale sur \(P^{\perp}\)  pour calculer la projection orthogonale sur \(P\). Est ce que ce n'était pas déjà cela qui était indiqué?

L'intérêt de la suggestion est sans doute d'éviter  de chercher une base de \(P\) puisque \(P^{\perp}\) est de dimension 1 dirigé par (1,1,-1) vecteur normal au plan. Cette projection \(p'\) sur \(P^{\perp}\) est donc plus immédiate à calculer et la projection sur \(P\) est alors obtenue par \(Id- p'=p\).

La symétrie orthogonale est alors \(Id-2p'\)  ( qui donne   la même chose que ce que tu indiques  puisque \(Id-2p'=Id -2(Id-p)=2p-Id\) .

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Edité par Sennacherib 24 avril 2017 à 23:20:41