Bonjour, j'ai du mal à faire un exo en maths qui mélange algèbre linéaire et matrices. J'ai la correction, mais j'ai du mal à comprendre. Voici l'énoncé :

Soit F l'espace vectoriel des fonctions de classe infini sur R et id l'endomorphisme identité de f. Soit g qui à toute fonction u de F associe g(u)=u"-5u'+6u

1.)mq que g est un endo de F --) easy, pas de problème.

2.) dans cette question on veut déterminer ker(g-6id).
a] montrer que la fonction j(x)=u'(x)e^(-5x) est une constante. --) on dérive et on doit montrer que sa dérivée est nulle en utilisant ker(g-6id). C'est là que je bloque. Je ne comprends pas ce qu'est une matrice identité ou une fonction identité. Donc ma première question est : pouvez vous m'expliquer qu'est-ce qu'une matrice (fonction, application en général) identité ? Quelle est sa forme ?
De même pouvez vous me traduire en français ce qu'est ker(g-6id) ? ker étant le noyau.

Le reste de l'exo, j'arrive à la faire. J'ai les concours dans quelques jours et c'est un des derniers points qu'il me reste à réviser et qu'on a vu à vitesse grand v, d'où ce problème. C'est tiré du concours de maths Edhec 2009 ECE pour ceux que ça intéresserait.

Merci d'avance pour vos réponses.

La matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs.
C'est l'élément neutre de la multiplication des matrices carrées d'ordre n, ce qui signifie que toute matrice multipliée par la matrice identité donne la matrice de départ(dans la mesure où les dimensions des matrices sont concordantes pour la multiplication).

Si on passe à la définition de l'identité en termes d'applications linéaires, l'application linéaire identité <math>\(id_E\)</math> d'un espace vectoriel E dans E est définie par <math>\(\forall u \in E, id_E(u)=u\)</math>.

Le noyau d'une application linéaire <math>\(f : E \rightarrow F\)</math> (où E et F sont deux K-ev) est défini comme l'ensemble des <math>\(u \in E\)</math> tels que <math>\(f(u)=0_F\)</math>.
Autrement dit, tu as :
<math>\(ker(g-6id)=\left\{ u \in E / (g-6id_E)(u)=0_E \right\} = \left\{ u \in E / g(u)-6id_E(u)=0 \right\} = \left\{ u \in E / g(u)-6u=0 \right\}\)</math>
soit en remplaçant par ce que tu sais de g : <math>\(\left\{ u \in E / u''-5u'=0 \right\}\)</math>.

Pour ta question 2)a, ta fonction j va être constante si justement u est dans <math>\(ker(g-6id_E)\)</math>.

ok, j'ai compris pour la matrice mais ça donne quoi pour une fonction ? la fonction identité, c'est x ? Concernant la réponse au 2.)a), merci j'ai compris.

Oui, sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>, la fonction identité est la fonction qui à x associe x.

Citation : Gr3n@d1n3

Oui, sur <math>\(\mathbb{R}\)</math>, la fonction identité est la fonction qui à x associe x.

Pas seulement sur <math>\(\mathbb R\)</math>, sur tout ensemble.

f^2 = f quel est le noyau de f? (ker (f))?

fof =f ^-1 (fof) = f et fof = f => f = identite donc f(x) = x et son noyau est donc l'element 0... est correct?

Bonjour,

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