Bonjour !

J'ai un petit problème d'algèbre tout simple. Il est facilement résoluble, mais en tordant un peu la résolution on arrive à une contradiction horrible et je trouve pas ou est le problème

Soit <math>\(A \in R^{n \times n}, v \in R^n\)</math> et <math>\(m \in R\)</math> tels que <math>\(A v = m v\)</math>. Montrer que <math>\(A - m I\)</math> n'est pas inversible.

Je poste pas la résolution classique, c'est pas intéressant.

L'autre résolution :
Supposons par l'absurde que <math>\(A - m I\)</math> inversible.
<math>\(A v = m v\)</math>
<math>\((A - m I) v = 0\)</math>
Supposons que K est l'inverse de <math>\(A - m I\)</math>. Donc K est inversible.

Prenons <math>\(w \in R^{1 \times n}\)</math>. Donc <math>\(v . w \in R^{n \times n}\)</math>. (matrice n x p fois matrice m x q = matrice n x q)
Donc on peut choisir w tel que v . w = K. Prenons le ainsi. (a mon avis la faute est la, mais pourtant ça me parait possible)
Donc <math>\((A - m I) v . w = 0 . w\)</math>
Donc <math>\((A - m I) K = 0\)</math>.

Or, comme K est l'inverse de <math>\(A- mI\)</math>, on devrait avoir <math>\((A - mI).K = I.\)</math>
Donc la première supposition est incorrecte. Donc <math>\(A - mI\)</math> n'est pas inversible.


Le problème, c'est qu'avec cette méthode, aucune matrice ne devrait être inversible. EN effet, si je prends M et x tel que M.x = 0.
Supposons M inversible, N son inverse et y tel que x . y = N.
Alors M.x.y = 0.y = 0.
Donc M.N = 0, donc il y a contradiction car on devrait avoir M . N = I.


Il y a un problème non ?

Jusqu'à preuve du contraire, multiplier un vecteur ligne par un vecteur colonne ne donne pas une matrice nxn

@flobard je crois qu'il fait au contraire un vecteur colonne multiplié par un vecteur ligne ce qui donne bien une matrice nxn.

Citation : Hayabusa

Donc on peut choisir w tel que v . w = K. Prenons le ainsi. (a mon avis la faute est la, mais pourtant ça me parait possible)

Il y a effectivement une erreur ici. Pour que ce soit possible, il faut que toutes les colonnes de K soient des multiples de v. (fais la multiplication v.w tu verras les coefficients de proportionalité sont justement les coordonnées <math>\(w_1\)</math>, <math>\(w_2\)</math>, ... <math>\(w_n\)</math> de <math>\(w\)</math>). Or K ne vérifie pas forcément cette propriété.

Citation : Hayabusa

Le problème, c'est qu'avec cette méthode, aucune matrice ne devrait être inversible. EN effet, si je prends M et x tel que M.x = 0.
Supposons M inversible, N son inverse et y tel que x . y = N.
Alors M.x.y = 0.y = 0.
Donc M.N = 0, donc il y a contradiction car on devrait avoir M . N =

Si il existe <math>\(x\neq 0\)</math> tel que Mx=0 alors il est vrai que M n'est pas inversible.
Par contre pour une matrice générale M, il n'existe pas forcément de <math>\(x\neq 0\)</math> qui vérifie Mx=0. C'est dans ce cas que la matrice est inversible (son noyau est réduit à <math>\(\{0\}\)</math> ).

Citation : GéoMl17

@flobard je crois qu'il fait au contraire un vecteur colonne multiplié par un vecteur ligne ce qui donne bien une matrice nxn.

Citation : Hayabusa

Donc on peut choisir w tel que v . w = K. Prenons le ainsi. (a mon avis la faute est la, mais pourtant ça me parait possible)

+1 désolé de mon erreur

Nickel !!
Merci beaucoup GéoMl17 ! ;-)