Bonjour,

J'ai des difficultés avec l'exercice ci-dessous.

J'ai du mal à parvenir à comprendre le dispositif, j'ai entendu parler de pendule élastique, mais est-ce bien ça ? Pourriez-vous m'aider à répondre aux questions s'il vous plaît ?

Merci beaucoup par avance pour l'aide, j'en ai besoin...

un pendule élastique c'est une masse qui oscille à l’extrémité d'un ressort fixe à l'autre extrémité. Selon les contraintes imposées en M, on obtient différents comportements. 

Ici, on a donc un pendule élastique dont la masse M est assujettie à se déplacer selon Ox. 

 indications:

1-l'hypothèse sans frottement implique que c'est un système conservatif et donc l'énergie mécanique ( cinétique + potentielle) se conserve.

l'énergie potentielle de gravitation reste constante puisque la masse reste sur une horizontale. 
\(E_p(x)\) est donc l'énergie potentielle du ressort fonction de sa longueur \(l(a,x)\). La calculer en la choisissant nulle pour \(l=l_0\)(ressort au repos).

 2- les positions d'équilibre de M correspondent à des extréma  de \(E_p(x)\), donc chercher les valeurs de \(x\) annulant la dérivée. 

On va trouver une seule valeur si \(a> l_0\)  et 3 valeurs pour \(a< l_0\), correspondant aux schémas 1 et 2

( remarque: il est facile de "deviner" qualitativement le comportement: une position d'équilibre correspond à une valeur nulle de la force de rappel horizontale agissant sur M . Si le ressort est moins long que \(a\), il est constamment en tension et la composante horizontale de la force agissante ne peut être nulle que en \(x=0\). S'il est plus long, il y a deux  valeurs où cette tension devient nulle, les valeurs de \(x\) telles que le ressort est la longueur \(l_0\) )

- pour la question 5, une étude explicite complète du mouvement me parait difficile même si l'équation différentielle qui le gouverne est facile à obtenir. Il suffit d'écrire que la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps est nulle . Mais cette équation  est non linéaire et non résoluble sans hypothèse  de petits mouvements,  pas nécessairement valable si \(a\) et \(l_0\) sont très différents. 

Donc je ne sais pas si c'est ce qui est attendu, mais je raisonnerai qualitativement en considérant l'énergie cinétique \(\frac{1}{2}mv_0^2\) associée à la vitesse initiale.

La nature du mouvement va changer selon que cette valeur sera supérieure ou non  à la valeur de l'énergie potentielle du ressort comprimé en \(x=0\)  . Selon que cette barrière de potentiel peut être franchie où non, il en découle des oscillations d'amplitude très différente, avec pour une valeur particulière, un cas théorique d'équilibre instable en \(x=0\).