Bonjour,

Je suis en train de réviser mon cours de mécanique fluide mais je ne parviens pas à obtenir le bon résultat ici..

Dans cet exercice il m'est dans un premier temps demandé de trouver une relation entre W et \(\omega\) (les vitesses).

Fluide incompressible / parfait. Le niveau d'eau H est maintenu. On néglige les frottements.

J'écris donc mon équation de Bernoulli entre les points M et A :

\[(\dfrac{{|| \vec{U} ||}^2}{2g} + \dfrac{p}{\rho g} + Z)_M = (\dfrac{{|| \vec{U}||}^2}{2g} + \dfrac{p}{\rho g} + Z)_A\]

En M les vitesses sont nulles, la pression relative en A et M sont nulles, la hauteur \(Z_M - Z_A = H\).

La vitesse en A est \(\vec{U} = (W cos(\theta) - \omega r) \vec{e_2} + W sin(\theta) \vec{e_1}\) (où \(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\) forment une "base cylindrique".

L'équation de Bernoulli devient alors \[2gH = W² + \omega² r² - 2 W\omega r cos(\theta)\]

Mais la solution est \(W² = 2gH + \omega² r²\) :/ Auriez vous une idée d'où pourrait provenir mon erreur ?

Merci pour votre aide

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EDIT

Dans le point suivant on me demande le couple. Ce que je trouve étrange c'est qu'en reprenant cette vitesse, j'écris le théorème de conservation de la quantité de mouvement et j'obtiens la bonne solution \(C = (\rho Q (W cos(\theta) - \omega r) \) où Q est le débit.

On me demande ensuite \(\omega_{max}\) que j'obtiens lorsque C = 0. J'ai alors \(\omega_{max} = W \dfrac{cos(\theta)}{r}\).

En remplaçant W dans mon Bernoulli, j'ai finalement \(\omega_{max} = \dfrac{cotg(\theta)}{r} \sqrt{2gH}\). Ce qui correspond à la réponse finale de l'exercice

Je vous avoue que je suis un peu paumé du coup x)

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Edité par Je s'appelle Groot 10 août 2017 à 14:39:32

   il me semble que l'équation de Bernoulli n'est pas appliqué correctement car l'écoulement se produit dans un référentiel en rotation non galiléen.    Ici, il faut tenir compte de la force d'inertie d'entrainement  \(-\rho\omega^2 r\) dérivant du potentiel \(-\rho \frac{ \omega^2 r^2}{2}\) et appliquer le long d'une ligne de courant dans le repère fixe, qui se présente comme sur le  schéma suivant, et donc à mon avis c'est \(\vec{W}\) tangent à la ligne qu'il faut considérer dans  Bernoulli :

Entre M et A, Bernoulli prenant en compte la force d'inertie s'écrit donc :   \(\dfrac{W^2}{2g} +Z_A -   \frac{ \omega^2 r^2}{2g}=Z_M\) ,

d'où \(W^2=2gH+ \omega^2 r^2\), la solution de ton corrigé.

Enfin, dans ton Edit, je ne suis pas sûr de comprendre .

C'est bien en substituant l'expression de W dans cette solution qu l'on trouve la dernière réponse et non dans la formule que tu as trouvée ...parce que dans l’Edit , tu dis "dans mon Bernoulli"  

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Edité par Sennacherib 11 août 2017 à 22:49:53

Merci pour ta réponse Je pensais qu'ajouter la composante tangentielle à la vitesse (due à la rotation) suffisait. Merci pour ces précisions

Oui c'est bien en remplaçant dans "mon Bernoulli" (en remplaçant dans l'autre ça fonctionne aussi c'était juste pour expliquer mon incompréhension)

\[W = \dfrac{r \omega}{cos(\theta)}\]

et

\[2gH = W² + \omega^2 r² - 2 W \omega r cos(\theta)\]

On a alors par substitution

\( 2gH = (\dfrac{r \omega}{cos(\theta)})^2 + \omega^2 r² - 2 \dfrac{r \omega}{cos(\theta)} \omega r cos(\theta)\)

\(= \dfrac{r² \omega^2}{cos^2(\theta)} - r² \omega^2 = \omega^2 r² (\dfrac{1 - cos^2(\theta)}{cos^2(\theta)})\)

\(= \omega^2 r² tg^2(\theta)\)

Et donc

\[\omega = \dfrac{\sqrt{2gH}}{r} cotg(\theta)\]

Simple coup de chance ?

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Edité par Je s'appelle Groot 12 août 2017 à 9:47:12

  je n'avais vérifié la substitution qu'avec la solution du corrigé.

Bizarrement , la formule inexacte conduit au même résultat  final! Je comprends mieux pourquoi tu disais " je suis un peu paumé du coup"

Curiosité assez rare où deux erreurs dans une formule ( signe de \(\omega^2r^2\) et terme en cosinus se "compensent" pour tomber sur un résultat final juste !  

donc .... coup de chance si on peut dire, car si la réponse intermédiaire n'était pas donnée , tu aurais pensé avoir juste et pas compris une mauvaise note si l'exo était noté ! 

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Edité par Sennacherib 12 août 2017 à 9:58:17

Ok simple coup de chance alors (ou de talent enfin découvert me guidant vers les solutions de tous les problèmes de physique ! ) .

Merci encore pour ton aide Sennacherib