Bonjour,

L'énoncé n'a peut-être pas grand chose à voir avec la question mais c'est simplement le titre de l'exercice sur lequel j'ai un petit soucis dès le préambule.

Citation

Montrer que que si <math>\(R^{2}\)</math> est une variable exponentielle de paramètre <math>\(\frac{1}{2}\)</math> et <math>\(\Theta\)</math> une variable indépendante de <math>\(R^{2}\)</math>, de loi uniforme sur <math>\(]-\pi;\pi[\)</math> alors les variables <math>\(X = \sqrt{R^{2}}cos(\Theta)\)</math> et <math>\(Y=\sqrt{R^{2}}sin(\Theta)\)</math> sont indépendantes entre elles et de même loi <math>\(N(0,1)\)</math>.

Voila ce que j'ai fais :
On sait que <math>\(R^{2}\)</math> et <math>\(\Theta\)</math> sont indépendantes ce qui permet de dire que la densité du couple est donnée par le produit des densités :
<math>\(f_{(R^{2},\Theta)}(r,\theta)=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}1_{\mathbb{R}^{*}_{+}}(r)\frac{1}{2\pi}1_{\mathbb{]-\pi;\pi[}(\theta)\)</math>

Je pose :
<math>\(\phi : \mathbb{R}^{*}_{+} * \mathbb{]-\pi;\pi[} \rightarrow (\mathbb{R}^{*}_{+})^{2}}\)</math>
<math>\((R^{2},\Theta) \mapsto (X,Y)=( \sqrt{R^{2}}cos(\Theta),\sqrt{R^{2}}sin(\Theta))\)</math>

Je calcule le Jacobien de cette application :
<math>\(J_{\phi}(r,\theta) = 2\sqrt{r^{2}}\)</math>

Du coup, le Jacobien ne s'annule pas sur <math>\(\mathbb{R}^{*}_{+} * \mathbb{]-\pi;\pi[}\)</math> et <math>\(\phi\)</math> est injective. Donc <math>\(\phi\)</math> est un <math>\(C^{1}\)</math>-difféomorphisme.

Je calcule la bijection réciproque :
<math>\(\phi^{-1} : (\mathbb{R}^{*}_{+})^{2}} \rightarrow \mathbb{R}^{*}_{+} * \mathbb{]-\pi;\pi[}\)</math>
<math>\((X,Y) \mapsto (\frac{R}{cos(\Theta)},\frac{R}{sin(\Theta)})\)</math>

<math>\(\phi\)</math> étant nulle en dehors de <math>\(\mathbb{R}^{*}_{+} * \mathbb{]-\pi;\pi[}\)</math> mais définie pour tout couple <math>\((r,\theta)\)</math> sur ce même intervalle <math>\(\phi\)</math> admet donc une densité définie par :

<math>\(f_{\phi(R^{2},\Theta)}(r,\theta)=\frac{f_{(R^{2},\Theta)}(\phi^{-1}(x,y))}{|J_{\phi}(\phi^{-1}(x,y)|}\)</math> (formule classique de changement de variable)

Et voila les soucis : impossible de reconnaître la moindre loi normale lorsque je remplace dans cette formule. J'obtiens un truc assez dégueulasse dont je n'arrive pas à me défaire.

D'où mes questions :
- Est-ce la bonne méthode ?
- Ai-je fais des erreurs de calculs que je n'ai pas vu ?
- Y a-t-il une subtilité dans le calcul que je n'ai pas vu pour faire apparaître mes deux lois normales ?

Merci à tous ceux qui se pencheront sur mon problème.

PS : Si quelqu'un à une méthode en Latex pour obtenir une belle définition de fonction (cad bien alignée), je suis preneur.

EDIT : J'ai oublié de préciser : ce qui est drôle c'est que j'arrive à faire l'inverse : partir des deux lois normales et d'arriver à une loi uniforme et une loi exponentielle avec cette méthode...


EDIT 2 : Je pense que c'est le calcul de <maths>\phi^{-1}</maths> qui n'est pas bonne mais je n'arrive pas à l'obtenir. <<

Bonsoir,

J'ai trouvé.
En fait j'ai fais du gros caca au niveau des notations et du coup ça fait tout foiré (et au passage si je savais calculer un Jacobien ou résoudre un système linéaire ça pourrait aider dans l'obtention du bon résultat).

Voila donc la solution bien rédigée (enfin j'espère) :

Je pose :
<math>\(\phi : \mathbb{R}^{*} * \mathbb{]-\pi;\pi[} \rightarrow (\mathbb{R}^{*})^{2}}\)</math>
<math>\((x,y) \mapsto ( \sqrt{x}cos(y),\sqrt{x}sin(y))\)</math>

Je calcule le Jacobien de cette application :
<math>\(J_{\phi}(x,y) = \frac{1}{2}\)</math>

Du coup, le Jacobien ne s'annule pas sur <math>\((\mathbb{R}^{*})^{2}\)</math> et <math>\(\phi\)</math> est injective de manière triviale. Donc <math>\(\phi\)</math> est un <math>\(C^{1}\)</math>-difféomorphisme.

Je calcule la bijection réciproque :

<math>\(\phi^{-1} : (\mathbb{R}^{*})^{2}} \rightarrow \mathbb{R}^{*} * \mathbb{]-\pi;\pi[}\)</math>
<math>\((x,y) \mapsto (x^{2}+y^{2},arcsin(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}))\)</math> (c'est mieux en sachant résoudre un système...)

<math>\(\phi\)</math> étant nulle en dehors de <math>\((\mathbb{R}^{*})^{2}\)</math>, le couple (X,Y) admet une densité :

<math>\(f_{\phi(X,Y)}(x,y)=\frac{f_{(R^{2},\Theta)}(\phi^{-1}(x,y))}{|J_{\phi}(\phi^{-1}(x,y)|}\)</math> (formule classique de changement de variable)

Ce qui donne après brève observation :

<math>\(f_{\phi(X,Y)}(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\)</math> qui est le produit de deux lois normales centrées réduites.

CQFD.
(Ce Que je Fu Débile )

Pour ceux que ça intéresse, la suite de l'exercice c'est : en déduire une manière de simuler une loi gaussienne centrée réduite avec une fonction rand informatique (considérée comme aléatoire et non pseudo-aléatoire) qui suit une loi uniforme sur ]0,1[. Et l'implémenter si ça vous dit.