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Edité par Anonyme 27 avril 2021 à 12:11:26

Bonjour,

il va falloir en dire un peu plus sur ce que tu as déjà testé et ce que tu ne comprends pas. Pour ce qui est de l'énoncé, on te donne une "fonction" définie comme une intégrale

\[F(k) = \int_{0}^{2\pi}{\left|\cos(x) - k x\right| dx}\].

Edit: oublie le reste de mon commentaire

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Edité par Nozio 27 avril 2021 à 15:24:35

Je ne comprends pas ce que veut dire "minimiser l'intégrale"

Ca veut dire "trouver la valeur de \(k \geq 0\)" telle que la valeur de l'intégrale est la plus faible possible. La méthode à utiliser est sans doute liée à la leçon à laquelle cet exercice est rattaché.

Edit: Voici un cheminement que je te propose. Je ne détaille volontairement pas tout car tu dois chercher par toi-même. Par ailleurs, je ne vais pas vérifier toutes les hypothèses mais il faudra que tu le fasses dans ta rédaction.

• si je me donne un \(y\in\mathbb R\), on a \(|y| = y, y\geq 0\) et \(|y| = -y, y\leq 0\). Et ça, ça ressemble furieusement à ce que tu as sous l'intégrale, non ?
• tu vas vite de rendre compte que tu ne peux pas expliciter le \(x\) permettant d'exploiter mon premier indice en fonction de \(k\) car tu vas devoir résoudre une équation transcendante (cf. Wiki). Mais ce n'est pas grave, suppose qu'il existe et appelle-le \(x_k\). 
• en supposant que tu as su exploiter mon premier indice et que tu as fait sauter la valeur absolue sous l'intégrale (en particulier tu peux utiliser la relation bien connue \(\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}\)), minimiser une fonction à une seule variable (ici \(k\)) revient à trouver un extremum non ? Or on a un outil bien connu pour ça (il faut d...... par rapport à \(k\)).
• A ce stade là, tu as du te rendre compte que la fonction à intégrer est très très simple, donc tu peux calculer cette nouvelle intégrale explicitement en fonction de \(x_k\).
• mais on sait aussi que pour que la fonction initiale admette un extremum, il faut que ce qu'on vient de calculer soit égal à une valeur très très particulière donc tu vas obtenir une forme explicite pour \(x_k\).
• ensuite, il faut revenir aux points 1 et 2 et se souvenir que \(x_k\) est solution d'une équation très particulière avec \(k\) comme paramètre. On obtient alors la valeur de \(k\) minimisant l'intégrale.

Je ne vais pas te donner l'expression exacte de \(k\), mais juste sa valeur approchée ce qui te permettra de vérifier que tu as la bonne valeur. On a

\[k \approx 0.39975470567789817\]

Remarque finale: il reste à prouver que la valeur obtenue est bien un minimiseur !

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Edité par Nozio 27 avril 2021 à 16:33:59

J'ai calculé:

• l'intégrale allant de 0 à pi/2 ∫cos(x)-kx je trouve alors 1- (k*pi)/4
• l'intégrale allant de 0 à pi/2 ∫kx-cos(x) je trouve alors (k*pi)/4 - 1

Tu as répondu pendant que je répondais dans mon message précédent. Je te laisse lire ce que j'ai écris

D'accord merci. Par contre dans votre premier message vous avez écrit l'intégrale allant de 0 à 2pi or la mienne va de 0 à pi/2

Une erreur de ma part, j'ai bien fait mes calculs avec les bonnes valeurs

D'accord merci

Donc ce que j'ai fait n'est pas bon ? 

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Edité par Anonyme 27 avril 2021 à 16:54:52

Ce que tu as fait est inutile. Il faut regarder si par hasard cos x - kx change de signe. Pour ça, tu peux faire un tableau de variation. Ensuite, tu intègres cette fonction là où elle est positive et son opposé là où elle est négative. (C'est toujours ainsi qu'on procède quand il y a une valeur absolue.) Nozio a l'air de dire qu'il y a juste deux intervalles à trouver : entre 0 et une certaine valeur, puis entre cette valeur (qu'il note \( x_k \)) et \( \pi/2 \). Mais tu dois commencer par vérifier ça (tableau de variation).

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Edité par robun 27 avril 2021 à 18:05:17

Ce que j'ai fait n'est pas bon ?

Ce que tu as fait est inutile (bis), tu n'as pas intégré la bonne fonction. Nozio avait proposé le plan d'une méthode de résolution, tu sembles n'avoir pas compris le début, alors j'ai essayé de détailler. Tu n'as toujours pas compris ? À quel endroit ça coince ?

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Edité par robun 27 avril 2021 à 19:13:37

Effectivement, la solution n'est pas triviale et, comme je l'ai dis, j'ai passé quelques vérifications d'hypothèses sous le tapis. En particulier, il faut vérifier (prouver !) que la fonction \(cos(x) - k\cdot x\) n'admet qu'un seul 0 sur \([0,\pi/2]\).  Concrètement, ça revient à vérifier qu'il n'existe qu'un seul point d'intersection, sur l'intervalle considéré, entre \(\cos(x)\) et la droite \(k\cdot x\). Ma remarque sur \(x_k\) est que même si cette intersection existe, tu ne trouveras pas d'expression "explicite" donc ce n'est pas la peine d'essayer de calculer \(x_k\) en résolvant \(\cos(x_k) = k\cdot x_k\), tu n'y arriveras pas. La suite de mon développement permet de montrer qu'en réalité le \(x_k\) recherché (celui correspondant au \(k\) minimisant l'intégrale) vérifie une autre équation qui, elle, est parfaitement et très simplement soluble. Mais pour y arriver, il faut avoir prouvé l'existence et l'unicité de \(x_k\), ce qui te permet de montrer que ton intégrale peut s'écrire comme une première intégrale sur \([0,x_k]\) et une seconde sur  \([x_k,\pi/2]\). Ensuite, il faudra aussi prouver que tu as le droit de dériver sous l'intégrale, mais je ne sais pas où vous en êtes dans le cours. Si tu n'as vu aucun théorème à ce propos, il suffira de l'admettre.

J'ai fait le tableau de variation, puis j'ai utilisé le corollaire du TVI pour montrer que cos(x)-kx = 0 n'admet qu'une solution. Ensuite je trouve que f(pi/4)=0.

J'ai alors calculé l'intégrale de 0 à pi/4 de cos(x)-kx  + l'intégrale de pi/4 à pi/2 de kx-cos(x), je trouve alors sqrt(2) + (k*pi^2)/16  -1.

Ensuite je dois dériver le résultat ? si oui, cela donne (pi^2)/16.

Et après je suis bloquée. 

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Edité par Anonyme 28 avril 2021 à 11:57:36

LilililiMimimimi a écrit:

Ensuite je trouve que f(pi/4)=0.

Tu parles de quel f ? De cos(x) - kx ? Pas de F(k) puisque tu n'as pas encore calculé l'intégrale.

LilililiMimimimi a écrit:

J'ai alors calculé l'intégrale de 0 à pi/4 de cos(x)-kx  + l'intégrale de pi/4 à pi/2 de kx-cos(x), je trouve alors sqrt(2) + (k*pi^2)/16  -1.

Non, il faut calculer l'intégrale de 0 à \( x_k \) puis de \( x_k \) à \( \pi /2 \) (comme l'a indiqué Nozio).

Oui je parle de cos(x)-kx.

Ah oui, j'ai lu la mauvaise fiche j'ai alors trouvé (-kx^2+kx)/2 - (pi^2 * k)/8  + 1 . Est ce bon ?

Lorsque j'écris x je parle de x indice k.

Et la dérivée de (-kx^2+kx)/2 - (pi^2 * k)/8  + 1 est : (1/2)(x-x^2)  - pi^2 /8 ?

Ensuite je fais l'intégrale de (1/2)(x-x^2)  - pi^2 /8  ?   Si oui, j'obtiens -x^3/6 + x^2/4 - (pi^2*x)/8

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Edité par Anonyme 28 avril 2021 à 13:54:03

Non, le résultat n'est toujours pas bon. Le mieux est que tu nous écrives ta démarche ligne par ligne, en partant de l'introduction de x_k, puis en exprimant la première intégrale, puis la seconde intégrale sans \(|\cdot|\), etc. Je dis bien exprimer, et pas calculer. Une fois que tu as rééecris \(F(k)\) comme cette somme de deux intégrales, souviens-toi que tu veux le minimum, et pas le \(k\) pour lequel elle s'annule ! Un minimum est un extremum, donc on utilise l'outil connu pour obtenir l'extremum d'une fonction.

Déjà j'ai posé f(x) = l cos(x)-kx l et f'(x) = -sin(x)-k je suis même pas sûre que ce soit bon. Ensuite j'ai fait le tableau de variation, je trouve alors que f est strictement décroissante et continue. Alors j'ai fait le corollaire du TVI. Puis j'ai dit que sur [0,x indice k] on peut écrire cos(x) - kx car l cos(x) - kx l >=0 et sur [x indice k, pi/2], on peut écrire kx-cos(x) car l cos(x) - kx l <=0

Donc on peut écrire :  intégrale allant de 0 à x indice k de cos(x)-kx  + integrale allant de x indice k à pi/2 de kx-cos(x) = [sin(x)-(kx^2)/2] + [(kx^2)/2 - sin(x)]

Les premiers crochets vont de 0 à x indice k et les deuxièmes de x indice k à pi/2

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Edité par Anonyme 28 avril 2021 à 14:31:35

C'est le bon point de départ, à part que tu n'as pas le droit d'écrire \(f'(x) = -\sin(x)-k\) si tu as posé \(f(x) = |\cos(x) - k\cdot x|\), à cause de la valeur absolue. Mais si tu enlèves cette valeur absolue, c'est ok. Ensuite, je pense qu'on est pas mal. On a

\[F(k) = \left[\sin(x) - k\cdot\dfrac{x^2}{2}\right]_0^{x_k} + \left[k\cdot\dfrac{x^2}{2} -\sin(x)\right]_{x_k}^{\pi/2}\]

et ça c'est bien égal à 

\[F(k) = 2\cdot\sin(x_k) - 1 - k\cdot x_k^2 + k\cdot \dfrac{\pi^2}{8}\]

Maintenant, en utilisant cette dernière expression, quelle est une condition nécessaire pour que \(F(k)\) admette un extremum en \(k\) (car c'est bien ce qu'on demande : une valeur de \(k\) minimisant \(F(k)\) )?

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Edité par Nozio 28 avril 2021 à 15:00:11

Si elle n'est pas dérivable en un point ? 

Je dois calculer la dérivée de f(k) ?

F, pas f ! On cherche si F a un minimum, donc il faut étudier la fonction F à présent, faire son tableau de variation, tout ça... C'est logique, non ?

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Edité par robun 28 avril 2021 à 16:10:47

D'accord. F'(K) = -x^2+(pi^2)/8, mais puisque je n'ai pas la valeur de x indice k comment dois-je faire ?

Je vais devoir abandonner, tant pis. Merci.

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Edité par Anonyme 28 avril 2021 à 15:53:23

Oui, il y a une difficulté, il ne « suffit » pas d'étudier F vu qu'on ne connaît pas d'expression pour \( x_k \). On sait que \( \cos x_k = kx_k \) et ça doit forcément re-servir, mais je bute aussi...

Ce que j'ai fait, c'est que j'ai écrit que \( x_k = x(k) \) où \( x \) est une certaine fonction que l'on ne sait pas expliciter (il faudrait que je justifie qu'elle est dérivable...)

Alors :

\[ F(k) = 2 \sin(x(k)) -1 -kx(k)^2 + k\frac{\pi^2}{8} \]

et la dérivée est :

\[ F'(k) = 2 \cos(x(k)) \cdot x'(k) -x(k)^2 - 2 kx(k)\cdot x'(k) + \frac{\pi^2}{8} \]

Or \( \cos(x(k)) = kx(k) \), d'(où :

\[ F'(k) = 2 k x(k) \cdot x'(k) -x(k)^2 - 2 kx(k)\cdot x'(k) + \frac{\pi^2}{8} \]

Hé, il y a une simplification ! Bon, à suivre...

(L'idée est de trouver le minimum en écrivant F'(k) = 0 et en vérifiant que c'est bien un minimum. On trouve ainsi que \( x(k) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi\) mais ça ne donne pas k, et là je sèche.) (Même la démonstration que c'est un minimum n'est pas simple, il faut utiliser le fait que la fonction x() est positive et décroissante, ce que je sais justifier avec un dessin, donc x²() est décroissante.)

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Edité par robun 28 avril 2021 à 17:25:18

J'ai trouvé x indice k est égal à pi*sqrt2 /4

et cos(xindice k) = k xindicek

alors k = cos (x indice k) / x indice k , avec le x indice k qu'on a trouvé

et j'obtiens bien ce que Nozio a trouvé

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Edité par Anonyme 28 avril 2021 à 17:15:32

Parfait

Pour ce qui est de prouver le décroissance stricte on doit pouvoir faire comme ça :

\[x(k) = \dfrac{\cos(x(k))}{k}\]

puis en dérivant de chaque côté

\[x'(k) = -\dfrac{\cos(x(k)) + k\cdot x'(k)\cdot \sin(x(k))}{k^2}\]

ce qui se simplifie en

\[x'(k) = -\dfrac{\cos(x(k))}{k\cdot(k + \sin(x_k)))}.\]

Finalement, on reprend toutes les hypothèses et ce qu'on a déjà prouvé. On sait que \(k\geq 0\), mais aussi que \(x(k)\in[0,\pi/2]\) donc le terme de droite est toujours négatif dans les hypothèses de travail ! On remarquera que le cas où \(x_k = \pi/2\) implique une valeur triviale pour \(k\) ...

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Edité par Nozio 29 avril 2021 à 10:41:29

Pour la décroissance de x(), je trouve plus simple de justifier que si a < b, alors x(a) > x(b), ce qui se peut se faire en raisonnant sur la pente de la droite qui intersecte le graphe du cosinus.

Mais je soupçonne que la partie la plus difficile est de justifier que la fonction \( k \mapsto x(k) \) est dérivable.

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Edité par robun 29 avril 2021 à 12:58:37

Concernant ce dernier point, je pense qu'on peut s'en sortir en regardant plutôt la fonction réciproque \(x\mapsto k(x)\), de \(]0,\pi/2]\to\mathbb R^{+}\). Celle-là, on peut facilement calculer sa dérivée et montrer qu'elle est continue sur l'intervalle qui nous intéresse. Finalement, on doit pouvoir conclure avec le théorème d'inversion locale.

J'ai dû rendre le sujet hier mais merci beaucoup à vous deux pour votre aide