Salut !

Je joue actuellement à un jeu de football avec des potes, où chaque joueur est noté en fonction de ses performances au long du match (passes réussies, but marqués etc), qui s'appellent MPG pour ceux que ça intéresserait. 

M'y connaissant finalement assez peu en foot, j'aborde pour l'instant le jeu de manière purement mathématique : Des stats sont donnés pour chaque joueur (écart-type + espérance des notes qu'ils ont obtenu), et connaissant la note finale que tel joueur a obtenu, on peut savoir s'il marquera en fonction des notes de l'équipe adverse. 

Pour une représentation purement statistique du jeu, j'ai besoin d'utiliser une loi de probabilité qui modélise la note des joueurs, qui ne peut prendre que des valeurs entières (ou demi-entieres : 5.5, 6.5 etc) entre 0 et 10.

Pour l'instant, j'utilise une loi normale, en disant que la probabilité qu'un joueur est la note x est l'intégrale de x-0.25 à x+0.25 de la fonction de répartition. Ça me paraît être une approximation plutôt bonne, parce que la plupart des joueurs ont des moyennes de note entre 4 et 6, donc les probabilités associés à des valeurs hors de l'intervalle sont presque nulles, mais je suis quand même curieux de voir si le problème a déjà été réfléchi. Finalement, ce que je cherche, c'est une espèce de loi normale réduite à un segment Ca existe ?

D'un point de vue strictement mathématique, il faudrait donc trouver une fonction qui transforme un intervalle fini en l'intervalle \( [ -\infty,+\infty] \). Cette fonction existe : c'est la tangente. En fait il y a deux étapes :

1) Transformer l'intervalle [x-0,25 ; x+0,25] en intervalle [-π/2 ; +π/2] par une transformation affine.

2) Transformer [-π/2 ; +π/2] en \( [ -\infty,+\infty] \) par la tangente.

Une fois sur l'intervalle \( [ -\infty,+\infty] \), tu pourras utiliser la loi normale.

Exemple : probabilité d'être entre 7,5 et 10 ?

1) L'intervalle [7,5 ; 10] est transformé en l'intervalle [π/4 ; π/2].

2) L'application de la tangente le transforme en l'intervalle \( [ 1,+\infty] \).

Il reste à calculer la probabilité d'être entre 1 et  \( +\infty \) avec la loi normale.

C'est juste une idée, je ne sais pas si ce sera réaliste (j'ai peur qu'elle donne trop de poids aux valeurs proches de la moyenne).

(Oups, j'ai mis certains crochets dans le mauvais sens. Mais je pense qu'on comprend...)

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Edité par robun 20 avril 2019 à 16:50:54

Désolé pour le temps de réponse, j'avais des petits concours à passer 

J'ai regardé l'histoire de la tangente, et je dois reconnaître que ça avait l'air intéressant, mais, après quelques tests, je me suis rendu compte que ça ne marchait pas vraiment. Une méthode simple et assez approximative que j'ai pu utilisé, c'est tout simplement de multiplier la courbe par un facteur tel que l'intégrale des valeurs sur la zone considéré fasse bien 1, c'est pas très satisfaisant, mais ça a l'air à peu près correct. 

J'ai tracé quelques graphes pour voir à quoi ça ressemblait, si tu aussi tu veux faire un peu joujou, je peux te poster ça là. 

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1mSNuuy9ZeWotXKuD4HJKH9ujslwLlxMeahzPaFL6ESI/edit?usp=sharing

En jaune : loi normale classique
En bleu : loi normale réajustée, de sorte que l'intégrale de la loi de probabilité fasse 1 sur l'intervalle considérée
En rouge : La loi de Arctan(x), avec la transformation affine qui va bien 

Après, en réalité, ce que j'ai fait est très approximatif, car à partir d'une variable suivant une loi normale, d'écart-type fixé, j'en créé d'autre dont les écarts type sont différents, donc les distributions sont pas forcément comparables entre elles, au-delà de l'allure, mais tenir compte de ce genre de problème devient assez vite compliqué 

Pour des espérances assez proches des valeurs extrêmes de l'intervalle, la loi tangentée a l'air de plutôt bien fonctionné, mais elle montre assez vite ses limites lorsqu'on prend des variables centrée sur l'intervalle. 

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Edité par gasasaa 29 avril 2019 à 10:38:06

gasasaa a écrit:

Désolé pour le temps de réponse, j'avais des petits concours à passer 

Edité par gasasaa hier à 10:38

en me référant à un message antérieur, sans doute du 18 au 25 avril, le "petit" concours de l'X...

je te souhaite d'avoir à passer en juin/ juillet le "petit" oral correspondant! 

Merci beaucoup, mais ce petit oral est loin d'être gagné   (j'ai pas particulièrement bien réussi les épreuves, et j'avais comme je l'avais déjà dis un niveau sur la limite d'admissibilité).

Mais bon vous inquiétez pas, je viendrais frimer un peu par ici si ça se passe bien