C'est une question basique : Je voudrais connaître la raison pour laquelle le résultat de la multiplication d'un négatif par un négatif donne un positif.
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tu admets le résultat en utilisant une simple notation de (-1)(-1). A l'origine du monde , tu n'es pas censé savoir que les lois que tu utilises implique ce que tu écris.
Il faut montrer que la règle des signes découlent les propriétés fondamentales des lois + et .
distributivité
(-1).(1+(-1))=(-1).(1)+(-1).(-1).
il existe un inverse pour + . (-1) est l'inverse de 1 donc le premier membre est nul
Donc 0=(-1).1+(-1).(-1) Mais 1 est l'élément neutre de la multiplication 0=-1+(-1)(-1).
+ est une loi de groupe. J'ajoute 1 à chaque membre d'où
1=(-1).(-1)
on généralise: -a=(-1).(a), -b =(-1).b donc (-a).(-b)=(-1).(a).(-1).(b)
mais la loi . est commutative et associative donc : (-a)(-b)=(-1)(-1)(ab)=ab avec le résultat préliminaire
- Edité par Sennacherib 28 juin 2018 à 22:36:41
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Dans la phrase « Alexandre a 40 euros de dettes et j’ai 3 fois plus de dettes qu’alexandre ». On peut représenter une dette par un nombre d’argent négatif. Mais de fait si j’ai 3 fois plus de dettes qu’alexandre c’est que j’ai 120 euros... de dettes ! Donc toujours un nombre négatif d’argent.
Dans la phrase « j’ai divisé par 2 la dette d’alexandre », on multiplie la dette d’alexandre par 0,5 (diviser par 2 c’est comme multiplier par 0,5). Mais il lui reste quand même une dette, qui est encore un nombre négatif d’argent.
Oui mais on ne multiplie pas la dette d'Alexandre pas un nombre négatif. Multiplier la dette d'Alexandre par -0.5 ne reviendrait-il pas à multiplier cette dette pas deux, et donc d'avoir -80 euro de dettes au final ?
La démonstration d'Edouard22 est plus convaincante. Mais elle est totalement abstraite. Elle ne se vérifie pas dans le monde réelle.
- Edité par Philkat 29 juin 2018 à 7:45:02
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On peut considérer que multiplier la dette par -1, c'est dire que le banquier s'est trompé et qu'en fait c'est lui qui nous devait de l'argent...
@Philkat : je ne vois pas comme tu passes de multiplier la dette par -0.5 à multiplier par 2. Tu passes facilement à c'est la diviser par -2, mais à la multiplier par 2, non...
Ce qu'@edouard22 a écrit n'est pas une démonstration, mais serait même plutôt une conséquence. Voir plutôt ce qu'a écrit @ Sennacherib.
Oh pardon j'avais mal compris la question, je pensais que tu demandais pourquoi un négatif par un positif faisait un négatif, j'avais lu trop vite. Donc oui l'exemple du banquier ne marche plus.
Ce qu'@edouard22 a écrit n'est pas une démonstration, mais serait même plutôt une conséquence. Voir plutôt ce qu'a écrit @ Sennacherib.
bon,.... en fait, ce que j'ai écrit n'a rien d'original , c'est sous cette forme ou une forme similaire que on trouve, dans les bons ouvrages, la règle des signes qui s'impose pour que la structure algébrique des nombres réels soient cohérentes, ( structure d'anneau commutatif a minima avec les propriétés des lois du groupe + et du groupe * )
Après, on peut évidemment se contenter de la façon dont on essaie d'expliquer la règle des signes dès la classe de 4ème.
Se pencher sur l'histoire des nombres n'est pas inintéressant et admettre l'idée de grandeur négative a été à peine plus simple que celle des nombres complexes dit imaginaires.
Rapporté à la vie courante, le concept de quantité négative n'a guère de sens finalement. Ce que je dois à mon banquier ou à mon épicier n'est pas une grandeur "négative" mais une grandeur portée dans la colonne débit. Donc, un nombre négatif ( et le produit de nombre négatifs a fortiori) est un concept étranger à l'intuition humaine , leur multiplication encore plus.
On peut dire, d'une certaine façon, que le seul concept accessible directement à l'esprit humain sans intermédiaire de règles mathématiques est celui de nombre entier . Et encore, on constate la faiblesse de notre cerveau pour appréhender un nombre d'élément de façon globale. Tous les tests montrent qu'il est impossible de conceptualiser directement un entier supérieur à 3 ou 4 ( parfois 5 pour certains!) pour la presque totalité des humains sans faire une opération intermédiaire de dénombrement , même inconsciente . S'il y a six moutons dans un pré, vous comptez 6 =3+3 ou 4+2 moutons ! Autant dire que si il y a quinze moutons, vous serez incapable d'en donner immédiatement le nombre exact même s'ils sont figés sur une photo.
- Edité par Sennacherib 29 juin 2018 à 13:23:47
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
@yon97one << Ce qu'@edouard22 a écrit n'est pas une démonstration, mais serait même plutôt une conséquence. Voir plutôt ce qu'a écrit @ Sennacherib. >> Oui, désolé, je me suis trompé de personne. Je parlais bien de la démonstration de @Sennacherib.
Je comprends que si on me donne 2 fois 3 euros, je vais en avoir 6 : 2 * 3 = 6
Je comprends aussi que si on donne 2 fois -3 euros, j'en aurais -6 : 2 * -3 = 6
Je comprends encore que si on me prend 2 fois 3 euros, j'en aurais aussi -6 : -2 * 3 = -6
Mais je ne comprends comment on peux me prendre 2 fois -3 euros : -2 * -3 = ? 1/ Peut-on me prendre quelque chose que je n'ai pas ? 2/ Pourquoi prendre 2 fois -3 euros me donnerait 6 euros ?
Précision : Je parle de pièces d'euros concretes, pas de valeurs sur des lignes de compte.
- Edité par Philkat 29 juin 2018 à 13:32:44
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1/ Peut-on me prendre quelque chose que je n'ai pas ?
On ne te prend pas quelque chose que tu n'as pas. On te prends ta dette.
Si par exemple tu as 2 € de dettes, ta fortune se monte à -2 €.
Coup de bol, quelqu'un accepte de te prendre ta dette. Il te prend -2 €.
Il te reste donc (-2) - (-2) = 0 €. Tu n'es plus endetté.
Voyons un autre exemple. Je tiens un bar-restaurant. Une partie de l'argent vient du bar, l'autre du restaurant. Je mets tout l'argent dans la caisse du bar, y compris celui qui provient du restaurant. Heureusement, je peux savoir ce qui vient du restaurant grâce au serveur qui note tout (contrairement à moi qui sert au bar).
Hier soir, j'avais 800 € dans la caisse. Le serveur du resto m'a dit qu'il avait perçu 500 €. J'en déduis que le bar a gagné 300 €.
En effet : bar = caisse totale - restaurant.
Ce soir, j'ai 900 € dans la caisse. Au restaurant, il n'y a eu que que 5 clients. Chacun d'eux m'a montré une erreur : la dernière fois, on leur a facturé 20 € le menu à 10 €, donc ils ne sont pas venus manger, juste se faire rembourser de 10 € chacun. Du coup :
bar = caisse totale - restaurant = 900 - 5 × (-10) = 900 + 50 = 950 €.
En effet, le bar a gagné 950 €, et comme j'ai dû rembourser les cinq clients de 10 € chacun, il n'y avait plus que 900 € dans la caisse. Ça montre bien que (-5) × (-10) = 50.
La dernière est la plus convaincante. Elle décrit toutefois une situation qui doit sans doute être assez rare et demande une certaine réflexion exigeant de se tordre le coup pour la lire sous le bon angle. Parce que, au final, le restaurant à tout de même 50 € en moins dans sa caisse.
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Le resto n'a pas de caisse, il y a juste une caisse unique. Les 50 € à rembourser ont été prélevés dans la caisse unique, qui contenait alors 950 € (oui, le bar ferme avant le resto).
À mon avis il faut surtout comprendre pourquoi soustraire un nombre négatif, c'est ajouter une quantité positive (pourquoi soustraire une dette revient à gagner de l'argent, par exemple). Si on arrive à trouver ça normal, je soupçonne qu'on arrivera à comprendre le principe lorsqu'on ajoute la multiplication.
Et multiplier par -1, reviendrait à prendre le symétrique par rapport à 0. Et quand tu prends deux fois le symétrique par rapport à un point ou une droite, ben tu retombes comme c'était avant. En multipliant par autre chose que -1, ben au moins tu es sur de retomber du même côté que le nombre initiale, ce qui correspond bien à multiplier par un nombre positif.
@dewey et @Justin : Oui, je connais déjà ces arguments, mais c'est justement parce qu'ils ne me satisfont pas que je cherche une réponse plus rationnelle, c'est-à-dire vérifiable de façon factuelle, dans le réel. Quand j'étais gamin, je détestais les math car javais la forte impression qu'on m'obligeait à admettre des trucs complètement théoriques, juste parce qu'un gars en bouse blanche avec des cheveux frisés en boule avait dit que c'était comme ça. Il est vrai que j'ai une approche plutôt de physicien que de mathématicien. La simple logique théorique ne me suffit pas. Par conséquent, si je pige parfaitement le principe du rapport entre les nombres négatifs entre eux par l'addition, j'ai du mal par la multiplication. Pourquoi pas des nombres -- ou ++ ou ---... ? N'y a-t-il qu'une seule dimension dans l'univers des - comme des + ?
Dans toutes les sciences, des choses restent encore à expliquer en partie parce que, parfois, on passe à côté des questions les plus simples. C'est ma conviction. J'ai d'autres questions du même genre
Merci à vous. Le réflexion continue.
- Edité par Philkat 5 juillet 2018 à 19:20:26
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Est-ce que tu admets que 3×(-5) = -15 ? Par exemple si j'ai 5 € de dettes, je possède -5 €. Imaginons que ma dette triple. Elle est alors de 15 €. Donc je possède -15 €.
De plus, lorsqu'on met un signe moins devant un nombre, on prend l'opposé de ce nombre. Par exemple si je mets un signe moins devant 24, ça devient -24. Mais si je mets un signe moins devant -24, il redevient 24. Est-ce qu'on peut admettre ça ?
Calculons -3×(-5). C'est l'opposé de 3×(-5), c'est-à-dire l'opposé de -15. Donc c'est +15. Conclusion : -3×(-5) = +15.
Tu dis ; 'N'y-a-t-il qu'une dimension dans l'univers ?'
En fait, dans toutes les réponses ci-dessus, on t'a parlé de nombres réels, dnc soit positifs, soit négatifs. Parce que ta question amenait à ces réponses. Mais ce qu'on ta raconté en dimension 1, ça marche parfaitement en dimension 2 aussi. Tu as peut-être entendu parler des nombres complexes. tu as certainement entendu parlé du nombre complexe i : i²=-1
Imagine que tu es dans une pièce très grande, et que tu marches vers le nord.
Tu fais un angle de 90° vers la gauche --> mathématiquement, tu multiplies ta direction par i.
Tu fais un 2ème angle à 90°vers la gauche --> mathématiquement, tu multiplies à nouveau par i, et donc en tout, tu as multiplié par i². ça marche : faire un demi-tour, ça revient à multiplier sa vitesse par -1.
Si tu fais Un demi-tour, et à nouveau un demi-tour, tu multiplies ta vitesse par -1 et à nouveau par -1. Et au final, tu retrouves la même vitesse et la même direction qu'au début. Ca illustre à nouveau la propriété initiale : -1*-1 = 1.
En dimension 3, ça marche aussi parfaitement, mais c'est plus compliqué à illustrer, puisqu'il faut introduire les produits vectoriels.
<<Tu dis ; 'N'y-a-t-il qu'une dimension dans l'univers ?' >>
Ce n'est pas tout à fait ce que j'ai dit, mais j'ai dû mal le dire. Ce ma question était de savoir s'il était possible d'imaginer des dimensions dans l'univers des plus (+) et des moins (-). Plus précisément, multiplier un nombre négatif par un autre nombre négatif pourrait-il donner un nombre doublement négatif ? Par exemple (-2) * (-3) = --6. Ici, il ne s'agit pas de mettre le nombre à une puissance, mais son signe, ce qui me pousse à penser à une dimension négative supplémentaire : La première est -, la deuxième est --, la troisième est ---, etc. La même chose serait valable pour les nombres positifs.
J'aime bien la démonstration avec i.
++
- Edité par Philkat 13 juillet 2018 à 18:35:35
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Perso je ne vois pas du tout comment tu vois un nombre "doublement négatif" mais surtout il faut se poser la question : à quoi servirait un tel nombre ?
De toute manière la multiplication c'est juste des additions :
2*3=2+2+2=6
-2* 3 = -2+(-2)+(-2)= -2-2-2 = -6
-3*-2= - (2*( -1-1-1) ) = - ( 2* ( -3) ) = -( -6)
ensuite on change le signe à l'intérieur de la parenthèse puisque par ex. si je fais a - (b + c) , c'est : a - 1( b+ c )= a +( - 1*b )+ ( -1*c ) = a - b - c
donc on a bien - (-6) = 0- ( -6 + 0) = 6 ( ok en fait ça résout pas le problème mais j'abandonne mdr)
après qu'une propriété soit démontré, démontrable ou pas il faut l'accepter. La règle du - par -, ça semble "logique" pourtant on galère tous à trouver LE truc qui explique tout bien formellement. je te demande de mettre en pose ton esprit de réflexion, mais je dis juste que c'est inutile d'essayer de trouver une conclusion autre que celle déjà trouver si celle ci convient, de toute manière rien n'est complet et démontrable dans l'absolu si l'on puit dire. (ouais je pars loin je sais)
BKettle oui mais là c'est plus une demande d'un cas concret comme l'addition où si tu ajoute 10 francs à une dette de 5 francs (donc -5) cela donne -15 et de l'autre coté si tu soustrait la dette par 10 francs cela done +5 francs.
Il me semble pas qu'il y aille de cas aussi concret pour expliquer la multiplication (à part changer en +/- mais ce n'est pas vraiment une réponse)
Un jour les Valaisans domineront le monde. Mais pas demain, ya apéro
pour la question de la dette, c,'est comme dit au dessus. La dette est un nombre positif que tu dois à quelqu'un, mais il ne faut pas considérer la dette comme un nombre négatif. quand tu rembourses une dette de 10 euros de 5 euros, c'est 10-5.
Sinon la multiplication c'est une addition, je ne vois pas en quoi ce n'est pas une réponse (?) 3*5 c 5+5+5 ou 3+3+3+3+3
Dans tout ça, on voit quand même que des choses qui sont communément admises comme évidentes le semblent moins quand on pose la question autrement. Ne pourrait-on pas envisager de les résoudre aussi autrement ? Ici, je suis dans un autre référentiel que celui des math que l'on m'a apprises au collège, et même aux lycée.
La démonstration de tbc92 avec i me parait la plus proche de la réponse que je cherche mais... avouez qu'il faut une sacrée gymnastique mentale pour expliquer un truc qui nous parait à tous évident depuis l'école primaire. Moi, du coup, ça me parait louche.
++
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moins fois moins égal plus
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https://fr.wikipedia.org/wiki/Black_Kettle
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