Salut !

Je cherche à calculer le moment d'inertie d'une sphère, et mon résultat diffère de ce que je peux trouver, mais je ne vois pas en quoi...

On pose \(\rho = \frac{m}{4/3 \pi R^{3}}\).

On a donc : 

Ce qui n'est pas le résultat que j'ai retrouvé partout... Ou est mon erreur ? (la notion de moment est encore toute nouvelle pour moi, on a commencé ce chapitre hier!)

Merci d'avance,

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Edité par Anonyme 14 mars 2015 à 19:14:55

Je suppose que le résultat que tu as retrouvé par ailleurs est avec un coefficient \(\frac{2}{5}\)au lieu du calcul du \(\frac{3}{5}\) que tu as trouvé.

En fait ton calcul est juste mais correspond à un moment d'inertie par rapport au centre alors que le résultat donné en général est celui  par rapport à un axe passant par le centre de la sphère.

Dans le cas particulier de la sphère tous les axes sont équivalents et dans un repère cartésien d'origine le centre de la sphère,  on a par exemple \(I_{Oz}=\rho \int (x^2+y^2)dV \) et on obtient \(I_{Ox}, I_{Oy}\) par permutation.

Mais on évite un calcul direct de cette intégrale  en utilisant l'égalité de ces trois moments. En effet on obtient  donc facilement \(3I= 2\rho \int r^2dV \) et le second membre n'est autre que deux fois l'intégrale que tu as calculée   .

Donc \(I\) par rapport à un axe vaut les \(\frac{2}{3}\) de ton résultat , ce qui  donne bien le résultat que l'on trouve dans la littérature !

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Edité par Sennacherib 14 mars 2015 à 23:28:07

Ah oui bien sur, mon solide tourne autour d'un axe, et pas d'un point (ce qui serait plutôt étrange, d'ailleurs) !

Malheureusement, ce dont tu me parles m'est assez étranger, pour la bonne raison que les seules notions que j'ai là-dessus peuvent presque se résumer à... la définition du moment d'inertie ! Même les intégrales triples ne sont pas encore à connaître, ça a juste été proposé "en plus" pour ceux tentés par l'aventure !

Mais du coup, en "bricolant" un peu on peut s'arranger j'ai l'impression ?

Par exemple, la distance du point à l'axe va dépendre de l'angle \(\theta\), et donc on aurait plutôt à calculer :

\[\int (r \sin \theta)^{2} dm\]

Ça me parait honnête, et logique surtout : quand \(\theta = 0\), on se trouve pile sur l'axe, donc la distance est nulle, et elle est maximale quand \(\theta = \pi /2\) !

je t'ai indiqué la façon la plus simple  simple, je pense,  pour  calculer par rapport à un axe pour une sphère , c'est "l'astuce"  que l'on trouve dans tous "les bons ouvrages".

Et je ne vois pas ce qui te pose problème , tu n'as qu'à  multiplier  ce que tu as déjà trouvé par 2/3 !

On peut aussi faire  directement le calcul et ce que tu indiques marche, mais tu vas te compliquer un peu plus la vie . Dans  l'intégrale un terme en \(\sin^3(\theta) \)  apparaît. Bon, c'est pas la mort si tu préfères les complications ...

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Edité par Sennacherib 15 mars 2015 à 21:04:51

J'avais compris ça, c'est juste que ça utilise quelque chose que je ne comprends pas tout à fait, alors j'ai préférer essayer autre chose qui, visiblement, marche aussi ! Et puis pour un terme en \(\sin^{3}\) en linéarisant c'est long mais rien de difficile, et justement ça me fait pratiquer le calcul, chose qu'on ne maîtrise plus trop, que des bons côtés !

En tout cas merci !

C'est la plus simple, elle utilise les symétries de la sphère.

Comme {\displaystyle J_{OX}=J_{Oy}=J_{Oz}=J}

on peut affirmer que :

{\displaystyle 3J=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V+\rho \int _{V}(z^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V+\rho \int _{V}(x^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} V=\rho \int _{V}2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,\mathrm {d} V=2\rho \int _{V}(r^{2})\,\mathrm {d} V}

où {\displaystyle r} est la distance du point {\displaystyle M} à l'origine.

Donc :

{\displaystyle 3J=2\rho \int _{V}(r^{2})\,\mathrm {d} V}

{\displaystyle 3J=2\rho \int _{r}r^{2}\ (\int _{S}\,\mathrm {d} S)\mathrm {d} r}

{\displaystyle 3J=2\times 4\pi \rho \int _{r}r^{4}\mathrm {d} r}

{\displaystyle 3J=2\times 4\pi \rho {\frac {R^{5}}{5}}}

avec {\displaystyle \rho ={\frac {m}{{\frac {4}{3}}\pi \ R^{3}}}}

{\displaystyle 3J=3{\frac {2mR^{2}}{5}}}

donc

{\displaystyle J={\frac {2mR^{2}}{5}}}